樹狀圖亦稱樹枝狀圖.樹形圖是數(shù)據(jù)樹的圖形表示形式,以父子層次結構來組織對象.是枚舉法的一種表達方式.
為了用圖表示親緣關系,把分類單位擺在圖上樹枝頂部,根據(jù)分枝可以表示其相互關系,具有二次元和三次元.在數(shù)量分類學上用于表型分類的樹狀圖,稱為表型樹狀圖（phenogram）,摻入系統(tǒng)的推論的稱為系統(tǒng)樹狀圖（cladogram）以資區(qū)別.表型樹狀圖是根據(jù)群析描繪的,系統(tǒng)樹狀圖是根據(jù)一種模擬的假定的性狀進化方向即用電子計算機描繪的.
樹狀圖也是初中學生學習概率問題所需要畫的一種圖形.
如何畫樹狀圖
最小樹形圖,就是給有向帶權圖中指定一個特殊的點v,求一棵有向生成樹T,使得該有向樹的根為v,并且T中所有邊的總權值最小.最小樹形圖的第一個算法是1965年朱永津和劉振宏提出的復雜度為O(VE)的算法.
　　判斷是否存在樹形圖的方法很簡單,只需要以v為根作一次圖的遍歷就可以了,所以下面的算法中不再考慮樹形圖不存在的情況.
　　在所有操作開始之前,我們需要把圖中所有的自環(huán)全都清除.很明顯,自環(huán)是不可能在任何一個樹形圖上的.只有進行了這步操作,總算法復雜度才真正能保證是O(VE).
　　首先為除根之外的每個點選定一條入邊,這條入邊一定要是所有入邊中最小的.現(xiàn)在所有的最小入邊都選擇出來了,如果這個入邊集不存在有向環(huán)的話,我們可以 證明這個集合就是該圖的最小樹形圖.這個證明并不是很難.如果存在有向環(huán)的話,我們就要將這個有向環(huán)所稱一個人工頂點,同時改變圖中邊的權.假設某點u在 該環(huán)上,并設這個環(huán)中指向u的邊權是in[u],那么對于每條從u出發(fā)的邊(u,i,w),在新圖中連接(new,i,w)的邊,其中new為新加的人工頂點; 對于每條進入u的邊(i,u,w),在新圖中建立邊(i,new,w-in[u])的邊.為什么入邊的權要減去in[u],這個后面會解釋,在這里先給出算法的步驟.然后可以證明,新圖中最小樹形圖的權加上舊圖中被收縮 的那個環(huán)的權和,就是原圖中最小樹形圖的權.
　　上面結論也不做證明了.現(xiàn)在依據(jù)上面的結論,說明一下為什么出邊的權不變,入邊的權要減去in [u].對于新圖中的最小樹形圖T,設指向人工節(jié)點的邊為e.將人工節(jié)點展開以后,e指向了一個環(huán).假設原先e是指向u的,這個時候我們將環(huán)上指向u的邊 in[u]刪除,這樣就得到了原圖中的一個樹形圖.我們會發(fā)現(xiàn),如果新圖中e的權w'(e)是原圖中e的權w(e)減去in[u]權的話,那么在我們刪除 掉in[u],并且將e恢復為原圖狀態(tài)的時候,這個樹形圖的權仍然是新圖樹形圖的權加環(huán)的權,而這個權值正是最小樹形圖的權值.所以在展開節(jié)點之后,我們 得到的仍然是最小樹形圖.逐步展開所有的人工節(jié)點,就會得到初始圖的最小樹形圖了.
　　如果實現(xiàn)得很聰明的話,可以達到找最小入邊O(E),找環(huán) O(V),收縮O(E),其中在找環(huán)O(V)這里需要一點技巧.這樣每次收縮的復雜度是O(E),然后最多會收縮幾次呢?由于我們一開始已經(jīng)拿掉了所有的 自環(huán),我門可以知道每個環(huán)至少包含2個點,收縮成1個點之后,總點數(shù)減少了至少1.當整個圖收縮到只有1個點的時候,最小樹形圖就不不用求了.所以我們最 多只會進行V-1次的收縮,所以總得復雜度自然是O(VE)了.由此可見,如果一開始不除去自環(huán)的話,理論復雜度會和自環(huán)的數(shù)目有關.