一元二次方程的解法
一、知識要點：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中數(shù)學(xué)的一個重點內(nèi)容,也是今后學(xué)習數(shù)學(xué)的基
礎(chǔ),應(yīng)引起同學(xué)們的重視.
一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2
的整式方程.
解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程.一元二次方程有四種解
法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.
二、方法、例題精講：
1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法.用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程,其解為x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做,（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2,右邊=11>0,所以
此方程也可用直接開平方法解.
（1）(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丟解)
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2=
（2） 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c
將二次項系數(shù)化為1：x2+x=-
方程兩邊分別加上一次項系數(shù)的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2=
當b2-4ac≥0時,x+ =±
∴x=(這就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
將常數(shù)項移到方程右邊 3x2-4x=2
將二次項系數(shù)化為1：x2-x=
方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接開平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后計算判別式△=b2-4ac的值,當b2-4ac≥0時,把各項
系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根.
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解為x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓
兩個一次因式分別等于零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個
根.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (選學(xué)） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學(xué)）
(1)(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解.
(2)2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解.
注意：有些同學(xué)做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應(yīng)記住一元二次方程有兩個解.
(3)6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解.
(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.
小結(jié)：
一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應(yīng)用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般
形式,同時應(yīng)使二次項系數(shù)化為正數(shù).
直接開平方法是最基本的方法.
公式法和配方法是最重要的方法.公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法）,在使用公式
法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數(shù),而且在用公式前應(yīng)先計算判別式的值,以便判斷方程
是否有解.
配方法是推導(dǎo)公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程.但是,配方法在學(xué)習其他數(shù)學(xué)知識時有廣泛的應(yīng)用,是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方
法之一,一定要掌握好.（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法,配方法,待定系數(shù)法）.
例5．用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(選學(xué)）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先應(yīng)觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算.觀察后發(fā)現(xiàn),方程左邊可用平方差
公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積.
（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解.
（3）化成一般形式后利用公式法解.
（4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解.
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2） x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
（3）x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (選學(xué)）
分析：此方程如果先做乘方,乘法,合并同類項化成一般形式后再做將會比較繁瑣,仔細觀察題目,我
們發(fā)現(xiàn)如果把x+1和x-4分別看作一個整體,則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方
法）
[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解.
例7．用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0
x2+px+q=0可變形為
x2+px=-q (常數(shù)項移到方程右邊)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方)
(x+)2= (配方)
當p2-4q≥0時,≥0（必須對p2-4q進行分類討論）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
當p2-4q<0時,<0此時原方程無實根.
說明：本題是含有字母系數(shù)的方程,題目中對p, q沒有附加條件,因此在解題過程中應(yīng)隨時注意對字母
取值的要求,必要時進行分類討論.
練習：
（一）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列關(guān)于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
練習參考答案：
（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.（把2x+3看作一個整體,將方程左邊分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解.
（二）1．x2-ax+( +b)( -b)=0 2、x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
原方程的解. 原方程的解.
測試
選擇題
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2．多項式a2+4a-10的值等于11,則a的值為（ ）.
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項系數(shù),一次項系數(shù)和常數(shù)項之和等于零,那么方程必有一個
根是（ ）.
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）.
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）.
A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5
6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）.
A、 B、 C、 D、無實根
7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）.
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式后,所得的方程是（ ）.
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不對
9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解該方程配方后的方程是（ ）.
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案與解析
答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析：
1．分析：移項得：(x-5)2=0,則x1=x2=5,
注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式,另外一元二次方程有實數(shù)根,一定是兩個.
2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側(cè)為a+b+c, 且具僅有x=1時, ax2+bx+c=a+b+c,意味著當x=1
時,方程成立,則必有根為x=1.
4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零,
則ax2+bx+c必存在因式x,則有且僅有c=0時,存在公因式x,所以 c=0.
另外,還可以將x=0代入,得c=0,更簡單!
5．分析：原方程變?yōu)?x2-3x-10=0,
則(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6．分析：Δ=9-4×3=-3<0,則原方程無實根.
7．分析：2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化簡,并注意直接開平方時,不要丟根.
8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0,然后按照一次項系數(shù)配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,
整理為：(x-)2=
方程可以利用等式性質(zhì)變形,并且 x2-bx配方時,配方項為一次項系數(shù)-b的一半的平方.
9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1
則(x-1)2=m+1.
中考解析
考題評析
1．（甘肅?。┓匠痰母牵?）
（A） （B） （C） 或 （D） 或
評析：因一元二次方程有兩個根,所以用排除法,排除A、B選項,再用驗證法在C、D選項中選出正確
選項.也可以用因式分解的方法解此方程求出結(jié)果對照選項也可以.選項A、B是只考慮了一方面忘記了一元
二次方程是兩個根,所以是錯誤的,而選項D中x=－1,不能使方程左右相等,所以也是錯誤的.正確選項為
C.
另外常有同學(xué)在方程的兩邊同時除以一個整式,使得方程丟根,這種錯誤要避免.
2．（吉林省）一元二次方程的根是__________.
評析：思路,根據(jù)方程的特點運用因式分解法,或公式法求解即可.
3．（遼寧?。┓匠痰母鶠椋?）
（A）0 （B）–1 （C）0,–1 （D）0,1
評析：思路：因方程為一元二次方程,所以有兩個實根,用排除法和驗證法可選出正確選項為C,而A、
B兩選項只有一個根.D選項一個數(shù)不是方程的根.另外可以用直接求方程根的方法.
4．（河南?。┮阎獂的二次方程的一個根是–2,那么k=__________.
評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去,構(gòu)造成關(guān)于k的一元二次方程,然后求解.
5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ）
（A）x=3+2 （B）x=3-2
（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
評析：用解方程的方法直接求解即可,也可不計算,利用一元二次方程有解,則必有兩解及8的平方
根,即可選出答案.
課外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次項是二
次的整式方程. 一般形式為
ax2+bx+c=0, (a≠0)
在公元前兩千年左右,一元二次方程及其解法已出現(xiàn)于古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數(shù)使它與它
的倒數(shù)之和等于 一個已給數(shù),即求出這樣的x與,使
x=1, x+ =b,
x2-bx+1=0,
他們做出( )2；再做出 ,然后得出+ 及 - .可見巴比倫人已知道一元二次
方程的求根公式.但他們當時并不接受 負數(shù),所以負根是略而不提的.
埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程,例如：ax2=b.
在公元前4、5世紀時,我國已掌握了一元二次方程的求根公式.
希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根,即使遇到兩個都是正根的情況,他亦只取其中
之一.
公元628年,從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中,得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公
式.
在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數(shù)學(xué)》中討論到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六種
不同的形式,令 a、b、c為正數(shù),如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等.把二次方程分成
不同形式作討論,是依照丟番圖的做法.阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外,還第一 次
給出二次方程的一般解法,承認方程有兩個根,并有無理根存在,但卻未有虛根的認識.十六世紀意大利的
數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私馊畏匠潭_始應(yīng)用復(fù)數(shù)根.
韋達（1540-1603）除已知一元方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解外,還給出根與系數(shù)的關(guān)系.
我國《九章算術(shù)．勾股》章中的第二十題是通過求相當于 x2+34x-71000=0的正根而解決的.我國數(shù)學(xué)
家還在方程的研究中應(yīng)用了內(nèi)插法.