三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心,依次位于同一直線上,這條直線就叫三角形的歐拉線.
歐拉于1765年在它的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心在歐拉線上,即三角形的重心、垂心和外心共線.
歐拉線的證明：
作△ABC的外接圓,連結(jié)并延長BO,交外接圓于點(diǎn)D.連結(jié)AD、CD、AH、CH、OH.作中線AM,設(shè)AM交OH于點(diǎn)G’.∵ BD是直徑,∴ ∠BAD、∠BCD是直角.∴ AD⊥AB,DC⊥BC.∵ CH⊥AB,AH⊥BC,∴ DA‖CH,DC‖AH.∴ 四邊形ADCH是平行四邊形,∴ AH=DC.∵ M是BC的中點(diǎn),O是BD的中點(diǎn).∴ OM= DC.∴ OM= AH.∵ OM‖AH,∴ △OMG’ ∽△HAG’.∴ .∴ G’是△ABC的重心.∴ G與G’重合.∴ O、G、H三點(diǎn)在同一條直線上.