y''－y'=0的特征根是0和1,通解是y＝C1+C2e^x.
再求非齊次方程的一個特解.難就難在特解上了.
令g＝y(tǒng)',則g'－g=(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x)).
再令f＝e^(－x)g,則f'=e^(－x)(g'－g)=e^(－x)(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x)),
于是f＝不定積分（e^(－x)(e^x－e^(－x))/(e^x+e^(－x))）dx 令e^(－x)=t
＝不定積分（(t^2－1)/(t^2+1)dt）=t－2arctant
＝e^(－x)－2arctane^(－x).
故g＝e^(x)f(x)=1－2e^xarctane^(－x).
y=不定積分（gdx）令e^(－x)=t
＝x+2不定積分（arctant/t^2dt）
=x－2不定積分（arctantd(1/t)）
＝x－2arctant/t+2不定積分（1/(t(1+t^2))dt）
=x－2e^xarctane^(－x)+2lnt－ln(1+t^2)
＝－x－2e^xarctane^(－x)－ln(1+e^(－2x)).
有了這些,通解就出來了.那如果把題目改成y"-y=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) )，應(yīng)該怎么做？【e^x(y‘－y)】'＝e^x(y''－y)=e^x[ e^x－e^(－x)]/【(e^x+e^(－x)】，類似上面可得 e^x(y’－y)=e^x－2arctane^x， y'－y=1－2arctane^x/e^x， 于是【e^(－x)y】'＝e^(－x)(y'－y)=e^(－x)－2e^(－2x)arctane^x， e^(－x)y＝－e^(－x)－2(－0.5arctane^x/e^(2x)－0.5e^(－x)－0.5arctane^x) y＝e^(－x)*arctane^x+e^x*arctane^x。 可能中間有些計(jì)算錯誤，原理應(yīng)該是這樣的，你自己再計(jì)算一下吧。