常數(shù)函數(shù),反比例函數(shù),正比例函數(shù),一次函數(shù),二次函數(shù),對號函數(shù),兄弟函數(shù),類反比例函數(shù),絕對值函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù)等函數(shù)的定義域,圖像,值域,單調(diào)區(qū)間,奇偶性是什么?

數(shù)學(xué)人氣：511 ℃時(shí)間：2020-07-27 00:33:49

優(yōu)質(zhì)解答

1.常數(shù)函數(shù)

定義域：R

圖像：平行x軸且到x軸的距離是該常數(shù)的一條直線

值域：{該常數(shù)的值}

單調(diào)區(qū)間：（-∞,+∞)不增也不減

奇偶性：偶函數(shù),關(guān)于y軸對稱；

2.反比例函數(shù)

定義域：x≠0的一切實(shí)數(shù)

圖像：

值域：y≠0的一切實(shí)數(shù)

單調(diào)區(qū)間：

奇偶性：奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱

3.正比例函數(shù)

定義域：R

值域：R

圖像：

單調(diào)區(qū)間：

奇偶性：奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱

4.一次函數(shù)

定義域：R

圖像：

值域：R

單調(diào)區(qū)間：k>0時(shí),遞增,

k<0時(shí),遞減.

奇偶性：無

5.二次函數(shù)

二次函數(shù)
I.定義與定義表達(dá)式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c（a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）
則稱y為x的二次函數(shù).
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式.
II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a,b,c為常數(shù),a≠0）
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點(diǎn)P（h,k）]
交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1,0）和 B（x2,0）的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x²的圖像,
可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線.
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形.對稱軸為直線
x = -b/2a.
對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P.
特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為
P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ].
當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí),P在x軸上.
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.
當(dāng)a＞0時(shí),拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí),拋物線向下開口.
|a|越大,則拋物線的開口越小.
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.
當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab＞0）,對稱軸在y軸左；
當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab＜0）,對稱軸在y軸右.
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn).
拋物線與y軸交于（0,c）
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ= b^2-4ac＞0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn).
Δ= b^2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn).
Δ= b^2-4ac＜0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn).
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2;+bx+c,
當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）,
即ax^2;+bx+c=0
此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根.
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.

答案補(bǔ)充
畫拋物線y＝ax2時(shí),應(yīng)先列表,再描點(diǎn),最后連線.列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心,選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值,描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接,并注意變化趨勢.
二次函數(shù)解析式的幾種形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù),a≠0).

(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0).

(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根,a≠0.

說明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x-h)2+k,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k),h＝0時(shí),拋物線y＝ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k＝0時(shí),拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h＝0且k＝0時(shí),拋物線y＝ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)

答案補(bǔ)充
如果圖像經(jīng)過原點(diǎn),并且對稱軸是y軸,則設(shè)y=ax^2；如果對稱軸是y軸,但不過原點(diǎn),則設(shè)y=ax^2+k

定義與定義表達(dá)式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
（a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下.IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）
則稱y為x的二次函數(shù).
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式.
x是自變量,y是x的函數(shù)

二次函數(shù)的三種表達(dá)式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
②頂點(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h,k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：
①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系
對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)