在數(shù)列{an}中，a1=1，an=2（an-1-1）+n（n≥2，n∈N*）（1）求a2，a3的值；（2）證明：數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=2（a_n-1-1）+n（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）證明：數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

數(shù)學(xué)人氣：177 ℃時(shí)間：2019-09-26 00:23:09

優(yōu)質(zhì)解答

（1）a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，n∈N^*）
∴a₂=2a₁+2-2=2…（2分）
a₃=2a₂+3-2=5…（4分）
（2）證明：∵

an+1+n+1

an+ n

＝

(2an+n?1)+n+1

an+n

＝2
∴數(shù)列{a_n+n}是首項(xiàng)為a₁+1=2公比為2的等比數(shù)列…（7分）
a_n+n=2?2^n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-n
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-n…（9分）
（3）∵{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ-n
∴S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+2+3+…+n）…（11分）
=

2(1?2n)

1?2

n(n+1)

＝2n+1?

n2+n+4

…（12分）

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