若(a^2+b^2)/(1+ab)為整數(shù),則它是平方數(shù)
證明 反證法,假設(shè)(a^2+b^2)/(1+ab)=k為整數(shù),但k不是平方數(shù),由(a^2+b^2)/(1+ab)=k得a^2+b^2-kab-k＝0,設(shè)(a,b)是使上式成立的所有整數(shù)對(duì)中使a+b最小的,不妨設(shè)a≥b,對(duì)確定的b,k,考慮2次方程a^2+b^2-kab-k＝0,a是它的一個(gè)解,x是它的另一個(gè)解,由a+x=kb,ax=b^2-k可知,x也是整數(shù),由k不是平方數(shù)得x不等于零,如果xb^2>0,這是不可能的,故x>0,于是(x,b)也是使a^2+b^2-kab-k＝0式成立的整數(shù)對(duì),由a+b最小性得a+b≤x+b,x≥a,b^2-k≥a^2,這與a≥b矛盾.證畢.
我嘗試了幾組
b=0,(a^2+b^2)/(1+ab)=a^2,對(duì)任意a命題成立.
b=1,(a^2+1)/(1+a)=1+a-2a/(1+a),如果該式為整數(shù),則1+a必整除2,a=1,此時(shí)該式等于1,故命題也成立.
如果b>2,取a=b^3,則(b^8+b^2)/(1+b^4)=b^2
(8^2+2^2)/(1+16)=68/17=4
(27^2+3^2)/(1+81)=738/82=9