數(shù)學(xué)建模
一、數(shù)學(xué)建模的起源
數(shù)學(xué)建模是在20世紀(jì)60和70年代進(jìn)入一些西方國家大學(xué)的,我國的幾所大學(xué)也在80年代初將數(shù)學(xué)建模引入課堂.經(jīng)過20多年的發(fā)展現(xiàn)在絕大多數(shù)本科院校和許多專科學(xué)校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學(xué)建模課程和講座,為培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問題的能力開辟了一條有效的途徑.
大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽最早是1985年在美國出現(xiàn)的,1989年在幾位從事數(shù)學(xué)建模教育的教師的組織和推動(dòng)下,我國幾所大學(xué)的學(xué)生開始參加美國的競賽,而且積極性越來越高,近幾年參賽校數(shù)、隊(duì)數(shù)占到相當(dāng)大的比例.可以說,數(shù)學(xué)建模競賽是在美國誕生、在中國開花、結(jié)果的.
1992年由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)組織舉辦了我國10城市的大學(xué)生數(shù)學(xué)模型聯(lián)賽,74所院校的314隊(duì)參加.教育部領(lǐng)導(dǎo)及時(shí)發(fā)現(xiàn)、并扶植、培育了這一新生事物,決定從1994年起由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同主辦全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽,每年一屆.十幾年來這項(xiàng)競賽的規(guī)模以平均年增長25%以上的速度發(fā)展.
全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是全國高校規(guī)模最大的課外科技活動(dòng)之一.本競賽每年9月(一般在中旬某個(gè)周末的星期五至下周星期一共3天,72小時(shí)）舉行,競賽面向全國大專院校的學(xué)生,不分專業(yè)（但競賽分本科、?？苾山M,本科組競賽所有大學(xué)生均可參加,?？平M競賽只有專科生（包括高職、高專生）可以參加）.
2008 年全國有31個(gè)省/市/自治區(qū)(包括香港)1023所院校、12846個(gè)隊(duì)（其中甲組10384隊(duì)、乙組2462隊(duì)）、3萬8千多名來自各個(gè)專業(yè)的大學(xué)生參加競賽,是歷年來參賽人數(shù)最多
二、數(shù)學(xué)建模的定義
簡單地說：數(shù)學(xué)模型就是對實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)表述.
具體一點(diǎn)說：數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為某種目的的一個(gè)抽象的簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).
更確切地說：數(shù)學(xué)模型就是對于一個(gè)特定的對象為了一個(gè)特定目標(biāo),根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的簡化假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)公式,算法、表格、圖示等.
數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型,建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程（見數(shù)學(xué)建模過程流程圖）. 數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法,是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法,通過抽象、簡化建立能近似刻畫并"解決"實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段.
三、數(shù)學(xué)建模的幾個(gè)過程
1 模型準(zhǔn)備：了解問題的實(shí)際背景,明確其實(shí)際意義,掌握對象的各種信息.用數(shù)學(xué)語言來描述問題.
2 模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模的目的,對問題進(jìn)行必要的簡化,并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè).
3 模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上,利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).（盡量用簡單的數(shù)學(xué)工具）
4 模型求利用獲取的數(shù)據(jù)資料,對模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（估計(jì)）.
5 模型分析：對所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析.
6 模型檢驗(yàn)：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較,以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性.如果模型與實(shí)際較吻合,則要對計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義,并進(jìn)行解釋.如果模型與實(shí)際吻合較差,則應(yīng)該修改假設(shè),再次重復(fù)建模過程.
7 模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異.
四、數(shù)學(xué)建模的方法
（一）機(jī)理分析法 從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導(dǎo)出模型.
1. 比例分析法--建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法.
2. 代數(shù)方法--求解離散問題（離散的數(shù)據(jù)、符號(hào)、圖形）的主要方法.
3. 邏輯方法--是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法,對社會(huì)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際問題,在決策,對策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用.
4. 常微分方程--解決兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律,關(guān)鍵是建立"瞬時(shí)變化率"的表達(dá)式.
5. 偏微分方程--解決因變量與兩個(gè)以上自變量之間的變化規(guī)律.
（二）、數(shù)據(jù)分析法 從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計(jì)方法建立數(shù)學(xué)模型.
1. 回歸分析法--用于對函數(shù)f（x）的一組觀測值（xi, fi）i=1,2… n,確定函數(shù)的表達(dá)式,由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù),故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法.
2. 時(shí)序分析法--處理的是動(dòng)態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù),又稱為過程統(tǒng)計(jì)方法.
3. 回歸分析法--用于對函數(shù)f（x）的一組觀測值（xi, fi）i=1,2…n,確定函數(shù)的表達(dá)式,由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù),故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法.
4. 時(shí)序分析法--處理的是動(dòng)態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù),又稱為過程統(tǒng)計(jì)方法.
（三）、仿真和其他方法
1. 計(jì)算機(jī)仿真（模擬）--實(shí)質(zhì)上是統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法,等效于抽樣試驗(yàn).① 離散系統(tǒng)仿真--有一組狀態(tài)變量. ② 連續(xù)系統(tǒng)仿真--有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖.
2. 因子試驗(yàn)法--在系統(tǒng)上作局部試驗(yàn),再根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改,求得所需的模型結(jié)構(gòu).
3. 人工現(xiàn)實(shí)法--基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達(dá)到的目標(biāo),并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化,人為地組成一個(gè)系統(tǒng).
五、數(shù)學(xué)建模的意義
1）在一般工程技術(shù)領(lǐng)域,數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地.
在以聲、光、熱、力、電這些物理學(xué)科為基礎(chǔ)的諸如機(jī)械、電機(jī)、土木、水利等工程技術(shù)領(lǐng)域中,數(shù)學(xué)建模的普遍性和重要性不言而喻,雖然這里的基本模型是已有的,但是由于新技術(shù)、新工藝的不斷涌現(xiàn),提出了許多需要用數(shù)學(xué)方法解決的新問題；高速、大型計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展,使得過去即便有了數(shù)學(xué)模型也無法求解的課題（如大型水壩的應(yīng)力計(jì)算,中長期天氣預(yù)報(bào)等）迎刃而解；建立在數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬基礎(chǔ)上的CAD技術(shù),以其快速、經(jīng)濟(jì)、方便等優(yōu)勢,大量地替代了傳統(tǒng)工程設(shè)計(jì)中的現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)、物理模擬等手段.
2）在高新技術(shù)領(lǐng)域,數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具.
無論是發(fā)展通訊、航天、微電子、自動(dòng)化等高新技術(shù)本身,還是將高新技術(shù)用于傳統(tǒng)工業(yè)去創(chuàng)造新工藝、開發(fā)新產(chǎn)品,計(jì)算機(jī)技術(shù)支持下的建模和模擬都是經(jīng)常使用的有效手段.數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計(jì)算和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等相結(jié)合形成的計(jì)算機(jī)軟件,已經(jīng)被固化于產(chǎn)品中,在許多高新技術(shù)領(lǐng)域起著核心作用,被認(rèn)為是高新技術(shù)的特征之一.在這個(gè)意義上,數(shù)學(xué)不再僅僅作為一門科學(xué),它是許多技術(shù)的基礎(chǔ),而且直接走向了技術(shù)的前臺(tái).國際上一位學(xué)者提出了“高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”的觀點(diǎn).
3）數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域,為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地.
隨著數(shù)學(xué)向諸如經(jīng)濟(jì)、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領(lǐng)域的滲透,一些交叉學(xué)科如計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等應(yīng)運(yùn)而生.一般地說,不存在作為支配關(guān)系的物理定律,當(dāng)用數(shù)學(xué)方法研究這些領(lǐng)域中的定量關(guān)系時(shí),數(shù)學(xué)建模就成為首要的、關(guān)鍵的步驟和這些學(xué)科發(fā)展與應(yīng)用的基礎(chǔ).在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度模型的余地相當(dāng)大,為數(shù)學(xué)建模提供了廣闊的新天地.馬克思說過,一門科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才算達(dá)到了完善的地步.展望21世紀(jì),數(shù)學(xué)必將大踏步地進(jìn)入所有學(xué)科,數(shù)學(xué)建模將迎來蓬勃發(fā)展的新時(shí)期.