有條件的特殊數(shù)的速算 兩位數(shù)乘法速算技巧 原理：設(shè)兩位數(shù)分別為10A+B,10C+D,其積為S,根據(jù)多項式展開： S= (10A+B) ×(10C+D)=10A×10C+ B×10C+10A×D+ B×D,而所謂速算,就是根據(jù)其中一些相等或互補（相加為十）的關(guān)系簡化上式,從而快速得出結(jié)果. 注：下文中 “--”代表十位和個位,因為兩位數(shù)的十位相乘得數(shù)的后面是兩個零,請大家不要忘了,前積就是前兩位,后積是后兩位,中積為中間兩位, 滿十前一,不足補零. A.乘法速算 一．前數(shù)相同的： 1.1.十位是1,個位互補,即A=C=1,B+D=10,S=(10+B+D)×10+A×B 方法：百位為二,個位相乘,得數(shù)為后積,滿十前一. 例：13×17 13 + 7 = 2- - （ “-”在不熟練的時候作為助記符,熟練后就可以不使用了） 3 × 7 = 21 ----------------------- 221 即13×17= 221 1.2.十位是1,個位不互補,即A=C=1, B+D≠10,S=(10+B+D)×10+A×B 方法：乘數(shù)的個位與被乘數(shù)相加,得數(shù)為前積,兩數(shù)的個位相乘,得數(shù)為后積,滿十前一. 例：15×17 15 + 7 = 22- （ “-”在不熟練的時候作為助記符,熟練后就可以不使用了） 5 × 7 = 35 ----------------------- 255 即15×17 = 255 1.3.十位相同,個位互補,即A=C,B+D=10,S=A×(A+1)×10+A×B 方法:十位數(shù)加1,得出的和與十位數(shù)相乘,得數(shù)為前積,個位數(shù)相乘,得數(shù)為后積 例：56 × 54 (5 + 1) × 5 = 30- - 6 × 4 = 24 ---------------------- 3024 1.4.十位相同,個位不互補,即A=C,B+D≠10,S=A×(A+1)×10+A×B 方法:先頭加一再乘頭兩,得數(shù)為前積,尾乘尾,的數(shù)為后積,乘數(shù)相加,看比十大幾或小幾,大幾就加幾個乘數(shù)的頭乘十,反之亦然 例：67 × 64 （6+1）×6=42 7×4=28 7+4=11 11-10=1 4228+60=4288 ---------------------- 4288 方法2：兩首位相乘（即求首位的平方）,得數(shù)作為前積,兩尾數(shù)的和與首位相乘,得數(shù)作為中積,滿十進一,兩尾數(shù)相乘,得數(shù)作為后積. 例：67 × 64 6 ×6 = 36- - （4 + 7）×6 = 66 - 4 × 7 = 28 ---------------------- 4288 二、后數(shù)相同的： 2.1. 個位是1,十位互補 即 B=D=1, A+C=10 S=10A×10C+101 方法：十位與十位相乘,得數(shù)為前積,加上101.. - -8 × 2 = 16- - 101 ----------------------- 1701 2.2. 個位是1,十位不互補 即 B=D=1, A+C≠10 S=10A×10C+10C+10A +1 方法：十位數(shù)乘積,加上十位數(shù)之和為前積,個位為1.. 例：71 ×91 70 × 90 = 63 - - 70 + 90 = 16 - 1 ---------------------- 6461 2.3個位是5,十位互補 即 B=D=5, A+C=10 S=10A×10C+25 方法：十位數(shù)乘積,加上十位數(shù)之和為前積,加上25. 例：35 × 75 3 × 7+ 5 = 26- - 25 ---------------------- 2625 2.4個位是5,十位不互補 即 B=D=5, A+C≠10 S=10A×10C+525 方法：兩首位相乘（即求首位的平方）,得數(shù)作為前積,兩十位數(shù)的和與個位相乘,得數(shù)作為中積,滿十進一,兩尾數(shù)相乘,得數(shù)作為后積. 例: 75 ×95 7 × 9 = 63 - - （7+ 9）× 5= 80 - 25 ---------------------------- 7125 2.5. 個位相同,十位互補 即 B=D, A+C=10 S=10A×10C+B100+B2 方法：十位與十位相乘加上個位,得數(shù)為前積,加上個位平方. 例：86 × 26 8 × 2+6 = 22- - 36 ----------------------- 2236 2.6.個位相同,十位非互補 方法：十位與十位相乘加上個位,得數(shù)為前積,加上個位平方,再看看十位相加比10大幾或小幾,大幾就加幾個個位乘十,小幾反之亦然 例：73×43 7×4+3=31 9 7+4=11 3109 +30=3139 ----------------------- 3139 2.7.個位相同,十位非互補速算法2 方法：頭乘頭,尾平方,再加上頭加尾的結(jié)果乘尾再乘10 例：73×43 7×4=28 9 2809+（7+4）×3×10=2809+11×30=2809+330=3139 ----------------------- 3139 三、特殊類型的： 3.1、一因數(shù)數(shù)首尾相同,一因數(shù)十位與個位互補的兩位數(shù)相乘. 方法：互補的那個數(shù)首位加1,得出的和與被乘數(shù)首位相乘,得數(shù)為前積,兩尾數(shù)相乘,得數(shù)為后積,沒有十位用0補. 例： 66 × 37 （3 + 1）× 6 = 24- - 6 × 7 = 42 ---------------------- 2442 3.2、一因數(shù)數(shù)首尾相同,一因數(shù)十位與個位非互補的兩位數(shù)相乘. 方法：雜亂的那個數(shù)首位加1,得出的和與被乘數(shù)首位相乘,得數(shù)為前積,兩尾數(shù)相乘,得數(shù)為后積,沒有十位用0補,再看看非互補的因數(shù)相加比10大幾或小幾,大幾就加幾個相同數(shù)的數(shù)字乘十,反之亦然 例：38×44 （3+1）×4=16 8*4=32 1632 3+8=11 11-10=1 1632+40=1672 ---------------------- 1672 3.3、一因數(shù)數(shù)首尾互補,一因數(shù)十位與個位不相同的兩位數(shù)相乘. 方法：乘數(shù)首位加1,得出的和與被乘數(shù)首位相乘,得數(shù)為前積,兩尾數(shù)相乘,得數(shù)為后積,沒有十位用0補,再看看不相同的因數(shù)尾比頭大幾或小幾,大幾就加幾個互補數(shù)的頭乘十,反之亦然 例：46×75 （4+1）*7=35 6*5=30 5-7=-2 2*4=8 3530-80=3450 ---------------------- 3450 3.4、一因數(shù)數(shù)首比尾小一,一因數(shù)十位與個位相加等于9的兩位數(shù)相乘. 方法：湊9的數(shù)首位加1乘以首數(shù)的補數(shù),得數(shù)為前積,首比尾小一的數(shù)的尾數(shù)的補數(shù)乘以湊9的數(shù)首位加1為后積,沒有十位用0補. 例：56×36 10-6=4,3+1=4,36÷9也等于4 5*（10-6）=20 4*（10-6）=16 “注：（10-6）也可以寫作（3+1）和（36÷9）” --------------- 2016 3.5、兩因數(shù)數(shù)首不同,尾互補的兩位數(shù)相乘. 方法：確定乘數(shù)與被乘數(shù),反之亦然.被乘數(shù)頭加一與乘數(shù)頭相乘,得數(shù)為前積,尾乘尾,得數(shù)為后積.再看看被乘數(shù)的頭比乘數(shù)的頭大幾或小幾,大幾就加幾個乘數(shù)的尾乘十,反之亦然 例：74×56 （7+1）*5=40 4*6=24 7-5=2 2*6=12 12*10=120 4024+120=4144 --------------- 4144 3.6、兩因數(shù)首尾差一,尾數(shù)互補的算法 方法：不用向第五個那么麻煩了,取大的頭平方減一,得數(shù)為前積,大數(shù)的尾平方的補整百數(shù)為后積 例：24×36 3>2 3*3-1=8 6^2=36 100-36=64 --------------- 864 3.7、近100的兩位數(shù)算法 方法：確定乘數(shù)與被乘數(shù),反之亦然.再用被乘數(shù)減去乘數(shù)補數(shù),得數(shù)為前積,再把兩數(shù)補數(shù)相乘,得數(shù)為后積（未滿10補零,滿百進一） 例：93×91 100-91=9 93-9=84 100-93=7 7*9=63 --------------- 8463 3.8、頭互補,尾不同的兩位數(shù)乘法 方法：先確定乘數(shù)與被乘數(shù),前兩位為將被乘數(shù)的頭和乘數(shù)的頭相乘加上乘數(shù)的個位數(shù).后兩位為被乘數(shù)與乘數(shù)尾數(shù)的積.再看被乘數(shù)末尾的數(shù)比乘數(shù)末尾數(shù)字小幾或大幾,小幾就減幾個乘數(shù)的頭乘十,反之亦然 例：22×81 2*8+1=17 2*1=2 2=1+1 1702+1*80=1782 --------------- 1782 B、平方速算 一、求11～19 的平方 同上1.2,乘數(shù)的個位與被乘數(shù)相加,得數(shù)為前積,兩數(shù)的個位相乘,得數(shù)為后積,滿十前一 例：17 × 17 17 ＋ 7 = 24- 7 × 7 = 49 --------------- 289 三、個位是5 的兩位數(shù)的平方 同上1.3,十位加1 乘以十位,在得數(shù)的后面接上25. 例：35 × 35 （3 + 1）× 3 = 12-- 25 ---------------------- 1225 四、十位是5 的兩位數(shù)的平方 同上2.5,個位加25,在得數(shù)的后面接上個位平方. 例： 53 ×53 25 + 3 = 28-- 3× 3 = 9 ---------------------- 2809 四、21～50 的兩位數(shù)的平方 求25～50之間的兩數(shù)的平方時,記住1~25的平方就簡單了, 11～19參照第一條,下面四個數(shù)據(jù)要牢記： 21 × 21 = 441 22 × 22 = 484 23 × 23 = 529 24 × 24 = 576 求25～50 的兩位數(shù)的平方,用底數(shù)減去25,得數(shù)為前積,50減去底數(shù)所得的差的平方作為后積,滿百進1,沒有十位補0. 例：37 × 37 37 - 25 = 12-- （50 - 37）^2 = 169 -------------------------------- 1369 五、知道平方后的速算 5.1 相鄰奇（偶）數(shù)的速算 方法,取平均數(shù)的平方減去1 例：21*23 22^2=484,484-1=483 -------------------------------- 483 5.2 兩數(shù)相加為100的速算（限用于小數(shù)為25-49） 方法：將大數(shù)減去50,再用2500減去差的平方 例：36*64 64-50=14 2500-14^2=2500-196=2304 -------------------------------- 2304 5.3 兩數(shù)相加為100的速算（限用于小數(shù)為1-25） 方法,將小數(shù)乘以100,減去小數(shù)的平方即可 例：11*89 1100-11^2=1100-121=979 -------------------------------- 979 5.4（三位乘三位）兩因數(shù)第一位相同,后兩位互補的乘法 方法：前兩位為被乘數(shù)第一位加1和另一個被乘數(shù)第一位的積；后面四位為兩個數(shù)字中每個數(shù)末尾兩位的積 例：436*464 64-50=14 2500-14^2=2500-196=2304 4*5=20 -------------------------------- 202304 5.5 和為200的兩數(shù)乘法 方法：將大數(shù)百位上的1直接去掉,再用10000減去去掉后數(shù)的平方 例：127*73 27^2=729 10000-729=9271 -------------------------------- 9271 5.6 兩數(shù)字（三位數(shù)）后兩位互補,百位數(shù)差一的乘法 方法：將大數(shù)百位上的數(shù)字直接去掉,再用大數(shù)平方減一作為前兩位,后四位為10000減去去掉后數(shù)的平方 例：217*183 2^2=3 10000-17^2=10000=289=9711 -------------------------------- 39711 5.7 十位數(shù)相差2,個位數(shù)相同的乘法 方法：取平均數(shù)的平方減去100 例：25*45 （25+45）÷2=35 35^2-100=1125 -------------------------------- 1125 5.8 百位互補,后兩位相同的乘法 方法：取兩數(shù)的百位相乘加上并乘以10后加上后兩位為前兩位,后面三位為后兩位的平方（位數(shù)不夠用0補,滿十進一） 例：323*723 3*7*10+23=233 23^2=529 -------------------------------- 233529 六：多位數(shù)特殊算法 6.1 一數(shù)和為9,一數(shù)為順子的算法 方法：湊9的數(shù)字按3.4條的方法處理,再將此數(shù)乘以順子的頭和尾的補數(shù),中間的數(shù)字全部替換為上一步處理完的數(shù). 例：45*234567 步驟1：4+1=5,10-5=5,45÷9=5（任選一個即可） 步驟2：5*2=10；5*（10-7）=15 步驟3：將中間的3456替換為全部替換為5 -------------------------------- 10555515 6.2、一數(shù)和為9,一數(shù)為含890的順的算法 方法：湊9的數(shù)字按3.4條的方法處理,再將此數(shù)乘以順子的頭和尾的補數(shù).中間的數(shù)字除9以外全部替換為上一步處理完的數(shù),9替換成0,若0為結(jié)尾則先約掉0按6.1的方法算出答案后再補0. 例：36*6789012 步驟1：3+1=4,10-6=4,36÷9=4(任選一個即可) 步驟2：4*6=24；4*（10-2）=32 步驟3：將78901替換為44044 -------------------------------- 244404432 6.3、一數(shù)和為9,一數(shù)為缺八順的算法（末尾可以是789） 方法：湊9的數(shù)字按3.4條的方法處理,再將此數(shù)乘以順子的頭和尾的補數(shù).中間的數(shù)字全部替換為上一步處理完的數(shù).若0為結(jié)尾則先約掉0按6.1的方法算出答案后再補0. 例：36*567901234 步驟1：3+1=4,10-6=4,36÷9=4（任選一個即可） 步驟2：4*5=20；4*（10-4）=24 步驟3：將6790123全部替換為4 -------------------------------- 20444444424 6.4、一數(shù)互補,一數(shù)為相同數(shù)的算法 方法：頭加一和尾同時與相同數(shù)的任意一位數(shù)字相乘. 中間的數(shù)字位數(shù)為相同數(shù)的位數(shù)減2,數(shù)字不變 例：46*444444444 步驟1：（4+1）*4=20,6*4=24 步驟2：444444444有9個4,9-2=7,抄7個4 -------------------------------- 20444444424 6.5、一數(shù)為相同數(shù),一數(shù)位兩位循環(huán)（相鄰兩位互補）的算法 方法：先將相同數(shù)的任意一位乘以循環(huán)節(jié)首位+1,再將相同數(shù)的任意一位乘以尾數(shù),中間數(shù)字替換成相同數(shù)的任意一位數(shù) 例1：77*646464 步驟1：（6+1）*7=49,7*4=28 步驟2：將4646替換為7777 -------------------------------- 49777728 例2：44*7373737 步驟1：（7+1）*4=32,7*4=28 步驟2：將37373替換為44444 -------------------------------- 324444428 6.6、多個9乘以任意數(shù)（位數(shù)要少于或等于前數(shù)的總位數(shù)） 方法：先將（任意數(shù)）－1,然后把（任意數(shù)）的位數(shù)和（多個9）比較位數(shù)的多少,少幾位則在中間寫幾個9,寫完9后寫補數(shù).熟練者可以直接看出位數(shù),寫補數(shù).如果兩個數(shù)位數(shù)相同,中間則沒有9. 例：1536*999999 第一步：1536-1=1535 第二步：6（6個9）-4（1536是4位數(shù)）=2 第三步：10000-1536=8464 答案：1535998464 C、加減法 一、補數(shù)的概念與應(yīng)用 補數(shù)的概念：補數(shù)是指從10、100、1000……中減去某一數(shù)后所剩下的數(shù). 例如10減去9等于1,因此9的補數(shù)是1,反過來,1的補數(shù)是9. 補數(shù)的應(yīng)用：在速算方法中將很常用到補數(shù).例如求兩個接近100的數(shù)的乘法或除數(shù),將看起來復(fù)雜的減法運算轉(zhuǎn)為簡單的加法運算等等. D、除法速算 一、某數(shù)除以5、25、125時 1、 被除數(shù) ÷ 5 = 被除數(shù) ÷ (10 ÷ 2) = 被除數(shù) ÷ 10 × 2 = 被除數(shù) × 2 ÷ 10 2、 被除數(shù) ÷ 25 = 被除數(shù) × 4 ÷100 = 被除數(shù) × 2 × 2 ÷100 3、 被除數(shù) ÷ 125 = 被除數(shù) × 8 ÷1000 = 被除數(shù) × 2 × 2 × 2 ÷1000 在加、減、乘、除四則運算中除法是最麻煩的一項,即使使用速算法很多時候也要加上筆算才能更快更準地算出答案.因本人水平所限,上面的算法不一定是最好的心算法