數(shù)學(xué)是無(wú)窮的科學(xué). ——赫爾曼外爾
數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性: 它們極易從事實(shí)中歸納出來(lái), 但證明卻隱藏的極深. 數(shù)學(xué)是科學(xué)之王. ——高斯
在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中, 提出問(wèn)題的藝術(shù)比解答問(wèn)題的藝術(shù)更為重要. ——康扥爾
只要一門科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題, 它就充滿著生命力, 而問(wèn)題缺乏則預(yù)示獨(dú)立發(fā)展的終止或衰亡.
——希爾伯特
在數(shù)學(xué)的天地里,重要的不是我們知道什么,而是我們?cè)趺粗朗裁?
——畢達(dá)哥拉斯
一門科學(xué),只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步.
——馬克思
一個(gè)國(guó)家的科學(xué)水平可以用它消耗的數(shù)學(xué)來(lái)度量.
——拉奧
柯西
(Augustin Louis Cauchy 1789-1857)
如果認(rèn)為只有在幾何證明里或者在感覺(jué)的證據(jù)里才有必然,那會(huì)是一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤.給我五個(gè)系數(shù),
我將畫出一頭大象；給我第六個(gè)系數(shù),大象將會(huì)搖動(dòng)尾巴.人必須確信,如果他是在給科學(xué)添加許多
新的術(shù)語(yǔ)而讓讀者接著研究那擺在他們面前的奇妙難盡的東西,已經(jīng)使科學(xué)獲得了巨大的進(jìn)展.
陳省身
數(shù)學(xué)是一門演繹的學(xué)問(wèn),從一組公設(shè),經(jīng)過(guò)邏輯的推理,獲得結(jié)論.
科學(xué)需要實(shí)驗(yàn).但實(shí)驗(yàn)不能絕對(duì)精確.如有數(shù)學(xué)理論,則全靠推論,就完全正確了.這科學(xué)不能離開數(shù)學(xué)的原因.許多科學(xué)的基本觀念,往往需要數(shù)學(xué)觀念來(lái)表示.所以數(shù)學(xué)家有飯吃了,但不能得諾貝爾獎(jiǎng),是自然的.
數(shù)學(xué)中沒(méi)有諾貝爾獎(jiǎng),這也許是件好事.諾貝爾獎(jiǎng)太引人注目,會(huì)使數(shù)學(xué)家無(wú)法專注於自己的研究.
我們欣賞數(shù)學(xué),我們需要數(shù)學(xué).
一個(gè)數(shù)學(xué)家的目的,是要了解數(shù)學(xué).歷史上數(shù)學(xué)的進(jìn)展不外兩途：增加對(duì)於已知材料的了解,和推廣范圍.
笛卡兒
(Rene Descartes 1596-1650)
我思故我在.
我決心放棄那個(gè)僅僅是抽象的幾何.這就是說(shuō),不再去考慮那些僅僅是用來(lái)練思想的問(wèn)題
.我這樣做,是為了研究另一種幾何,即目的在於解釋自然現(xiàn)象的幾何.
數(shù)學(xué)是人類知識(shí)活動(dòng)留下來(lái)最具威力的知識(shí)工具,是一些現(xiàn)象的根源.數(shù)學(xué)是不變的,是
客觀存在的,上帝必以數(shù)學(xué)法則建造宇宙.
歐拉
(Leonhard Euler 1707-1783)
雖然不允許我們看透自然界本質(zhì)的秘密,從而認(rèn)識(shí)現(xiàn)象的真實(shí)原因,但仍可能發(fā)生這樣的
情形：一定的虛構(gòu)假設(shè)足以解釋許多現(xiàn)陜.
因?yàn)橛钪娴慕Y(jié)構(gòu)是最完善的而且是最明智的上帝的創(chuàng)造,因此,如果在宇宙里沒(méi)有某種極
大的或極小的法則,那就根本不會(huì)發(fā)生任何事情
祖沖之
(429-500)
遲序之?dāng)?shù),非出神怪,有形可檢,有數(shù)可推.
劉徽
事類相推,各有攸歸,故枝條雖分而同本干知,發(fā)其一端而已.又所析理以辭,解體用圖
,庶亦約而能周,通而不黷,覽之者思過(guò)半矣.
拉普拉斯
(Pierre Simon Laplace 1749-1827)
這就是結(jié)構(gòu)好的語(yǔ)言的好處,它簡(jiǎn)化的記法常常是深?yuàn)W理論的源泉.
在數(shù)學(xué)這門科學(xué)里,我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比.
讀讀歐拉,讀讀歐拉,他是我們大家的老師.
一個(gè)國(guó)家只有數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展,才能表現(xiàn)她的國(guó)力強(qiáng)大.
認(rèn)識(shí)一位巨人的研究方法,對(duì)於科學(xué)的進(jìn)步并不比發(fā)現(xiàn)本身更少用處.科學(xué)研究的方法經(jīng)
常是極富興趣的部分.
萊布尼茨
(Gottfried Wilhelm von Leibniz 1646-1716)
虛數(shù)是奇妙的人類棈神寄托,它好像是存在與不存在之間的一種兩棲動(dòng)物.
不發(fā)生作用的東西是不會(huì)存在的.
考慮了很少的那幾樣?xùn)|西之后,整個(gè)的事情就歸結(jié)為純幾何,這是物理和力學(xué)的一個(gè)目標(biāo)
西爾維斯特
(James Joseph Sylvester 1814-1897)
幾何看來(lái)有時(shí)候要領(lǐng)先於分析,但事實(shí)上,幾何的先行於分析,只不過(guò)像一個(gè)仆人走在主
人的前面一樣,是為主人開路的.
也許我可以并非不適當(dāng)?shù)匾螳@得數(shù)學(xué)上亞當(dāng)這一稱號(hào),因?yàn)槲蚁嘈艛?shù)學(xué)理性創(chuàng)造物由我
命名(已經(jīng)流行通用)比起同時(shí)代其他數(shù)學(xué)家加在一起還要多.
魏爾斯特拉斯
(Karl Weierstrass 1815-1897)
一個(gè)沒(méi)有幾分詩(shī)人才能的數(shù)學(xué)家決不會(huì)成為一個(gè)完全的數(shù)學(xué)家. 數(shù)統(tǒng)治著宇宙. ——畢達(dá)哥拉斯
數(shù)學(xué),科學(xué)的女皇；數(shù)論,數(shù)學(xué)的女皇. ——C•F•高斯
上帝創(chuàng)造了整數(shù),所有其余的數(shù)都是人造的. ——L•克隆內(nèi)克
上帝是一位算術(shù)家 ——雅克比
一個(gè)沒(méi)有幾分詩(shī)人氣的數(shù)學(xué)家永遠(yuǎn)成不了一個(gè)完全的數(shù)學(xué)家.——維爾斯特拉斯
純數(shù)學(xué)這門科學(xué)再其現(xiàn)代發(fā)展階段,可以說(shuō)是人類精神之最具獨(dú)創(chuàng)性的創(chuàng)造.——懷德海
可以數(shù)是屬統(tǒng)治著整個(gè)量的世界,而算數(shù)的四則運(yùn)算則可以看作是數(shù)學(xué)家的全部裝備.——麥克斯韋
數(shù)論是人類知識(shí)最古老的一個(gè)分支,然而他的一些最深?yuàn)W的秘密與其最平凡的真理是密切相連的.——史密斯
無(wú)限!再也沒(méi)有其他問(wèn)題如此深刻地打動(dòng)過(guò)人類的心靈.——D•希爾伯特
發(fā)現(xiàn)每一個(gè)新的群體在形式上都是數(shù)學(xué)的,因?yàn)槲覀儾豢赡苡衅渌闹笇?dǎo).——C•G•達(dá)爾文
宇宙的偉大建筑是現(xiàn)在開始以純數(shù)學(xué)家的面目出現(xiàn)了.——J•H•京斯
這是一個(gè)可靠的規(guī)律,當(dāng)數(shù)學(xué)或哲學(xué)著作的作者以模糊深?yuàn)W的話寫作時(shí),他是在胡說(shuō)八道.——A•N•懷德海
給我五個(gè)系數(shù),我講畫出一頭大象；給我六個(gè)系數(shù),大象將會(huì)搖動(dòng)尾巴.——A•L•柯西
純數(shù)學(xué)是魔術(shù)家真正的魔杖.——諾瓦列斯
如果誰(shuí)不知道正方形的對(duì)角線同邊是不可通約的量,那他就不值得人的稱號(hào).——柏拉圖
整數(shù)的簡(jiǎn)單構(gòu)成,若干世紀(jì)以來(lái)一直是使數(shù)學(xué)獲得新生的源泉.——G•D•伯克霍夫
一個(gè)數(shù)學(xué)家越超脫越好.——無(wú)名氏
數(shù)學(xué)不可比擬的永久性和萬(wàn)能性及他對(duì)時(shí)間和文化背景的獨(dú)立行是其本質(zhì)的直接后果.——A•埃博
這是一個(gè)可靠的規(guī)律,當(dāng)數(shù)學(xué)或哲學(xué)著作的作者以模糊深?yuàn)W的話寫作時(shí),他是在胡說(shuō)八道.――A.N.懷特海
我曾聽到有人說(shuō)我是數(shù)學(xué)的反對(duì)者,是數(shù)學(xué)的敵人,但沒(méi)有人比我更尊重?cái)?shù)學(xué),因?yàn)樗瓿闪宋也辉玫狡涑删偷臉I(yè)績(jī). ――哥德
數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由.――康托爾
在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中,提出問(wèn)題的藝術(shù)比解答問(wèn)題的藝術(shù)更為重要.――康托爾
沒(méi)有任何問(wèn)題可以像無(wú)窮那樣深深地觸動(dòng)人的情感,很少有別的觀念能像無(wú)窮那樣激勵(lì)理智產(chǎn)生富有成果的思想,然而也沒(méi)有任何其它的概念能像無(wú)窮那樣需要加以闡明.――希爾伯特
數(shù)統(tǒng)治著宇宙. ――畢達(dá)哥拉斯
數(shù)學(xué),科學(xué)的皇后；算術(shù),數(shù)學(xué)的皇后. ――高斯
數(shù)學(xué)是無(wú)窮的科學(xué).――赫爾曼外爾
問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟. ――P.R.Halmos
只要一門科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題,它就充滿著生命力,而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的終止或衰亡. ――希爾伯特
數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實(shí)中歸納出來(lái),但證明卻隱藏的極深.――高斯
數(shù)學(xué)家就像戀人……給予一個(gè)數(shù)學(xué)家最少的原理,他將從中得出一個(gè)你必須認(rèn)可的結(jié)論,從這個(gè)結(jié)論他又會(huì)得出另一個(gè)結(jié)論.――豐泰內(nèi)利
（算術(shù)）是人類知識(shí)最古老,也許是最最古老的一個(gè)分支；然而它的一些最深?yuàn)W的秘密與其最平凡的真理是密切相連的.――H.J.S.史密斯
也許聽起來(lái)奇怪,數(shù)學(xué)的力量在于它規(guī)避了一切不必要的思考和它驚人地節(jié)省了腦力勞動(dòng). ――恩斯特·馬赫
但是數(shù)學(xué)享有盛譽(yù)還有另一個(gè)原因：正是數(shù)學(xué)給了各種精密自然科學(xué)一定程度的可靠性,沒(méi)有數(shù)學(xué),它們不可能獲得這樣的可靠性.――艾伯特·愛因斯坦
數(shù)學(xué)是特別適于處理任何種類的抽象概念的工具,在這個(gè)領(lǐng)域中它的力量是沒(méi)有限度的.由于這個(gè)原因,一本關(guān)于新興物理的書,只要不是純粹描述實(shí)驗(yàn)的,實(shí)質(zhì)上就必然是數(shù)學(xué)書. ――P.A.M.狄拉克
為了創(chuàng)造一種健康的哲學(xué),你應(yīng)該拋棄形而上學(xué),但要成為一個(gè)好數(shù)學(xué)家.
――伯特蘭·羅素
發(fā)現(xiàn)的每一個(gè)新的群體在形式上都是數(shù)學(xué)的,因?yàn)槲覀儾豢赡苡衅渌闹笇?dǎo).――C.G.達(dá)爾文
上帝乃幾何學(xué)家.――柏拉圖
上帝乃算術(shù)學(xué)家.――C.G.J.雅可比
數(shù)學(xué)是最精密的科學(xué),它的全部結(jié)論都能絕對(duì)地證明.但所以會(huì)如此只是因?yàn)閿?shù)學(xué)并不試圖得出絕對(duì)的結(jié)論.所有的數(shù)學(xué)真理都是相對(duì)的、有條件的.
――夏爾斯·普羅托伊斯·斯泰因梅茨
數(shù)學(xué)是知識(shí)的工具,亦是其它知識(shí)工具的泉源.所有研究順序和度量的科學(xué)均和數(shù)學(xué)有關(guān). ――笛卡爾
數(shù)學(xué)方法滲透并支配著一切自然科學(xué)的理論分支.它愈來(lái)愈成為衡量科學(xué)成就的主要標(biāo)志了. ――馮紐曼
這些是名言、歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家,他在數(shù)論、幾何學(xué)、天文數(shù)學(xué)、微積分等好幾個(gè)數(shù)學(xué)的分支領(lǐng)域中都取得了出色的成就.不過(guò),這個(gè)大數(shù)學(xué)家在孩提時(shí)代卻一點(diǎn)也不討老師的喜歡,他是一個(gè)被學(xué)校除了名的小學(xué)生.
事情是因?yàn)樾切嵌鸬? 當(dāng)時(shí),小歐拉在一個(gè)教會(huì)學(xué)校里讀書.有一次,他向老師提問(wèn),天上有多少顆星星.老師是個(gè)神學(xué)的信徒,他不知道天上究竟有多少顆星,圣經(jīng)上也沒(méi)有回答過(guò).其實(shí),天上的星星數(shù)不清,是無(wú)限的.我們的肉眼可見的星星也有幾千顆.這個(gè)老師不懂裝懂,回答歐拉說(shuō)：“天上有多少顆星星,這無(wú)關(guān)緊要,只要知道天上的星星是上帝鑲嵌上去的就夠了.”
歐拉感到很奇怪：“天那么大,那么高,地上沒(méi)有扶梯,上帝是怎么把星星一顆一顆鑲嵌到一在幕上的呢?上帝親自把它們一顆一顆地放在天幕,他為什么忘記了星星的數(shù)目呢?上帝會(huì)不會(huì)太粗心了呢?”
他向老師提出了心中的疑問(wèn),老師又一次被問(wèn)住了,漲紅了臉,不知如何回答才好.老師的心中頓時(shí)升起一股怒氣,這不僅是因?yàn)橐粋€(gè)才上學(xué)的孩子向老師問(wèn)出了這樣的問(wèn)題,使老師下不了臺(tái),更主要的是,老師把上帝看得高于一切.小歐拉居然責(zé)怪上帝為什么沒(méi)有記住星星的數(shù)目,言外之意是對(duì)萬(wàn)能的上帝提出了懷疑.在老師的心目中,這可是個(gè)嚴(yán)重的問(wèn)題.
在歐拉的年代,對(duì)上帝是絕對(duì)不能懷疑的,人們只能做思想的奴隸,絕對(duì)不允許自由思考.小歐拉沒(méi)有與教會(huì)、與上帝"保持一致",老師就讓他離開學(xué)校回家.但是,在小歐拉心中,上帝神圣的光環(huán)消失了.他想,上帝是個(gè)窩囊廢,他怎么連天上的星星也記不住?他又想,上帝是個(gè)獨(dú)裁者,連提出問(wèn)題都成了罪.他又想,上帝也許是個(gè)別人編造出來(lái)的家伙,根本就不存在.
回家后無(wú)事,他就幫助爸爸放羊,成了一個(gè)牧童.他一面放羊,一面讀書.他讀的書中,有不少數(shù)學(xué)書.
爸爸的羊群漸漸增多了,達(dá)到了100只.原來(lái)的羊圈有點(diǎn)小了,爸爸決定建造一個(gè)新的羊圈.他用尺量出了一塊長(zhǎng)方形的土地,長(zhǎng)40米,寬15米,他一算,面積正好是600平方米,平均每一頭羊占地6平方米.正打算動(dòng)工的時(shí)候,他發(fā)現(xiàn)他的材料只夠圍100米的籬笆,不夠用.若要圍成長(zhǎng)40米,寬15米的羊圈,其周長(zhǎng)將是110米（15+15+40+40=110）父親感到很為難,若要按原計(jì)劃建造,就要再添10米長(zhǎng)的材料；要是縮小面積,每頭羊的面積就會(huì)小于6平方米.
小歐拉卻向父親說(shuō),不用縮小羊圈,也不用擔(dān)心每頭羊的領(lǐng)地會(huì)小于原來(lái)的計(jì)劃.他有辦法.父親不相信小歐拉會(huì)有辦法,聽了沒(méi)有理他.小歐拉急了,大聲說(shuō),只有稍稍移動(dòng)一下羊圈的樁子就行了.
父親聽了直搖頭,心想：“世界上哪有這樣便宜的事情?”但是,小歐拉卻堅(jiān)持說(shuō),他一定能兩全齊美.父親終于同意讓兒子試試看.
小歐拉見父親同意了,站起身來(lái),跑到準(zhǔn)備動(dòng)工的羊圈旁.他以一個(gè)木樁為中心,將原來(lái)的40米邊長(zhǎng)截短,縮短到25米.父親著急了,說(shuō)：“那怎么成呢?那怎么成呢?這個(gè)羊圈太小了,太小了.”小歐拉也不回答,跑到另一條邊上,將原來(lái)15米的邊長(zhǎng)延長(zhǎng),又增加了10米,變成了25米.經(jīng)這樣一改,原來(lái)計(jì)劃中的羊圈變成了一個(gè)25米邊長(zhǎng)的正方形.然后,小歐拉很自信地對(duì)爸爸說(shuō)：“現(xiàn)在,籬笆也夠了,面積也夠了.”
父親照著小歐拉設(shè)計(jì)的羊圈扎上了籬笆,100米長(zhǎng)的籬笆真的夠了,不多不少,全部用光.面積也足夠了,而且還稍稍大了一些.父親心里感到非常高興.孩子比自己聰明,真會(huì)動(dòng)腦筋,將來(lái)一定大有出息.
父親感到,讓這么聰明的孩子放羊?qū)嵲谑强上Я?后來(lái),他想辦法讓小歐拉認(rèn)識(shí)了一個(gè)大數(shù)學(xué)家伯努利.通過(guò)這位數(shù)學(xué)家的推薦,1720年,小歐拉成了巴塞爾大學(xué)的大學(xué)生.這一年,小歐拉13歲,是這所大學(xué)最年輕的大學(xué)生.
故事.