點(diǎn)差就是在求解圓錐曲線(xiàn)并且題目中交代直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交被截的線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候,利用直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn),并把交點(diǎn)代入圓錐曲線(xiàn)的方程,并作差.求出直線(xiàn)的斜率,然后利用中點(diǎn)求出直線(xiàn)方程.
利用點(diǎn)差法可以減少很多的計(jì)算,所以在解有關(guān)的問(wèn)題時(shí)用這種方法比較好.
點(diǎn)差法：適應(yīng)的常見(jiàn)問(wèn)題：
弦的斜率與弦的中點(diǎn)問(wèn)題；
①注意：點(diǎn)差法的不等價(jià)性；（考慮⊿>0）
②“點(diǎn)差法”常見(jiàn)題型有：求中點(diǎn)弦方程、求（過(guò)定點(diǎn)、平行弦）弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線(xiàn)問(wèn)題.
在解答平面解析幾何中的某些問(wèn)題時(shí),如果能適時(shí)運(yùn)用點(diǎn)差法,可以達(dá)到“設(shè)而不求”的目的,同時(shí),還可以降低解題的運(yùn)算量,優(yōu)化解題過(guò)程.這類(lèi)問(wèn)題通常與直線(xiàn)斜率和弦的中點(diǎn)有關(guān)或借助曲線(xiàn)方程中變量的取值范圍求出其他變量的范圍.
與圓錐曲線(xiàn)的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題,我們稱(chēng)之為圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題.
解圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題的一般方法是:聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的方程,借助于一元二次方程的根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解.
若設(shè)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2),將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線(xiàn)的方程并對(duì)所得兩式作差,得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運(yùn)算量.我們稱(chēng)這種代點(diǎn)作差的方法為"點(diǎn)差法".
求直線(xiàn)方程或求點(diǎn)的軌跡方程
例1 拋物線(xiàn)X^2=3y上的兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)恰是關(guān)于x的方程x^2+px+q=0,(常數(shù)p、q∈R)的兩個(gè)實(shí)根,求直線(xiàn)AB的方程.
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1^2=3y1 ①；x1^2 +px1+q=0 ②；
由①、②兩式相減,整理得px1+3y1+q=0 ③；
同理 px2 +3y2+q=0 ④.
∵③、④分別表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)的直線(xiàn),因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線(xiàn).
∴px+3y+q=0,即為所求的直線(xiàn)AB的方程.
例2 過(guò)橢圓x^2+4y^2=16內(nèi)一點(diǎn)P(1,1)作一直線(xiàn)l,使直線(xiàn)l被橢圓截得的線(xiàn)段恰好被點(diǎn)P平分,求直線(xiàn)l的方程.
設(shè)弦的兩端點(diǎn)為P1(x1,y1)、P2(x2,y2),則x1^2+4y1^2=16,x2^2+4y2^2=16,
兩式相減,得(x1﹣x2)(x1+x2)+4(y1﹣y2)(y1+y2)=0,因?yàn)閤1+x2=2,y1+y2=2,因?yàn)镻是直線(xiàn)L的中點(diǎn)）∴等式兩邊同除(x1﹣x2),有2+8k=0∴k=﹣0.25.故直線(xiàn)l的方程為y﹣1=﹣0.25(x﹣1),即4y + x﹣5=0
求圓錐曲線(xiàn)方程用點(diǎn)差法,特別在橢圓和雙曲線(xiàn)居多