點差法點差就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點坐標的時候,利用直線和圓錐曲線的兩個交點,并把交點代入圓錐曲線的方程,并作差.求出直線的斜率,然后利用中點求出直線方程.
利用點差法可以減少很多的計算,所以在解有關(guān)的問題時用這種方法比較好.
點差法：適應的常見問題：
弦的斜率與弦的中點問題；
①注意：點差法的不等價性；（考慮⊿>0）
②“點差法”常見題型有：求中點弦方程、求（過定點、平行弦）弦中點軌跡、垂直平分線問題.
在解答平面解析幾何中的某些問題時,如果能適時運用點差法,可以達到“設(shè)而不求”的目的,同時,還可以降低解題的運算量,優(yōu)化解題過程. 這類問題通常與直線斜率和弦的中點有關(guān)或借助曲線方程中變量的取值范圍求出其他變量的范圍.
與圓錐曲線的弦的中點有關(guān)的問題,我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題.
解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是:聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程,借助于一元二次方程的根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,中點坐標公式及參數(shù)法求解.
若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為,將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差,得到一個與弦的中點和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運算量.我們稱這種代點作差的方法為"點差法".
求直線方程或求點的軌跡方程
例1 拋物線X^2=3y上的兩點A、B的橫坐標恰是關(guān)于x的方程x^2+px+q=0,(常數(shù)p、q∈R)的兩個實根,求直線AB的方程.
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1^2=3y1 ①；x1^2 +px1+q=0 ②；
由①、②兩式相減,整理得px1+3y1+q=0 ③；
同理 px2 +3y2+q=0 ④.
∵③、④分別表示經(jīng)過點A(x1,y1)、B(x2,y2)的直線,因為不共線的兩點確定一條直線.
∴px+3y+q=0,即為所求的直線AB的方程.
例2 過橢圓x2＋4y2=16內(nèi)一點P(1,1)作一直線l,使直線l被橢圓截得的線段恰好被點P平分,求直線l的方程.
設(shè)弦的兩端點為P1(x1,y1)、P2(x2,y2),則x1^2＋4y1^2=16,x2^2＋4y2^2=16,
兩式相減,得(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1+y2)=0,因為x1＋x2=2,y1+y2=2,∴等式兩邊同除(x1－x2),有2+8k=0∴k=－0.25.故直線l的方程為y－1=－0.25(x－1),即4y + x－5=0
求圓錐曲線方程用點差法