首先觀察,√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n],它在n→∞時(shí)于1/2,而1/n→0.這里并沒有出現(xiàn)類似“0^0”“1^∞”的極限不定式,因此可以猜測lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/n)＝1.
要用夾逼定理證明這個(gè)結(jié)論,只需要證明√(n^2+n)-n在兩個(gè)常數(shù)之間（這時(shí)再給它們加個(gè)1/n次方,再取極限,就都是1了）.
而√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n]＝n/[√(n^2+n)+n]＝1/[√(1+1/n)+1]單增,故有√(2)-1＜√(n^2+n)-n＜1/2,分析完畢.
證明：
由于√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n]＝n/[√(n^2+n)+n]＝1/[√(1+1/n)+1]單增,
故有√(2)-1＜√(n^2+n)-n＜1/2
[√(2)-1]^(1/n)＜[√(n^2+n)-n]^(1/n)＜(1/2)^(1/n)
故1＝lim(n→∞)[√(2)-1]^(1/n)≤lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/n)≤lim(n→∞)(1/2)^(1/n)＝1
即有l(wèi)im(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/2)＝1.