首先:((n+1)^a-n^a) > 0
其次:((n+1)^a-n^a) = n^a[(1+1/n)^a-1]
由于0 < a < 1為常數(shù),1+1/n > 0
所以(1+1/n)^a < 1+1/n
所以有:n^a[(1+1/n)^a-1] < n^a(1+1/n-1) = (n^a)/n = 1/n^(1-a)
而0 < a < 1為常數(shù),所以當(dāng)n趨于無窮大時,分母趨于無窮大,整個分式趨于零.
綜合起來有:0 < ((n+1)^a-n^a) = n^a[(1+1/n)^a-1] < n^a(1+1/n-1) = (n^a)/n = 1/n^(1-a)
同時取極限,最右面與最左面的式子都趨于零,所以由夾逼定理,
lim((n+1)^a-n^a) = 0