A是由形狀相同、方向相反的兩條拋物線圍成,并且關(guān)于y軸對稱.先求出A 的左右角點坐標(biāo).
由 1/2x^2=1-1/2x^2 得：x=±1,相應(yīng)y=1/2;
A面積為:∫(1-1/2x^2-1/2x^2)dx=x-x^3/3,將積分上下限[1__-1]代入得A=4/3；
圖形上下左右對稱,故僅需計算其四分一之周長即可；以曲線y=1/2x^2在[x=0__1]段弧長為準(zhǔn),因 dy=y'dx=xdx,
故L=4∫√[(dy)^2+(dx)^2]=4∫√[(1+x^2)]dx=2{[x*(√(1+x^2))]+ln[x+(√(1+x^2))]},代入上下限得：L=2[√2+(ln(1+√2))]；
繞X軸旋轉(zhuǎn)體是一類似救生圈的圓盤,積分域在A上,V=∫∫(2лy)dxdy=∫dx∫(2лy)dy ;
V=∫dx∫(2лy)dy=л∫dx(y^2),將y積分域上下限[1-1/2x^2__1/2x^2]代入得：
V=л∫[1-x^2] dx,對x積分并將上下限[1,0]代入得：
V=л[1-1/3]=2л/3