在牛頓的全部科學貢獻中,數(shù)學成就占有突出的地位.他數(shù)學生涯中的第一項創(chuàng)造性成果就是發(fā)現(xiàn)了二項式定理.據(jù)牛頓本人回憶,他是在1664年和1665年間的冬天,在研讀沃利斯博士的《無窮算術》時,試圖修改他的求圓面積的級數(shù)時發(fā)現(xiàn)這一定理的.
　　笛卡爾的解析幾何把描述運動的函數(shù)關系和幾何曲線相對應.牛頓在老師巴羅的指導下,在鉆研笛卡爾的解析幾何的基礎上,找到了新的出路.可以把任意時刻的速度看是在微小的時間范圍里的速度的平均值,這就是一個微小的路程和時間間隔的比值,當這個微小的時間間隔縮小到無窮小的時候,就是這一點的準確值.這就是微分的概念.
　　求微分相當于求時間和路程關系得在某點的切線斜率.一個變速的運動物體在一定時間范圍里走過的路程,可以看作是在微小時間間隔里所走路程的和,這就是積分的概念.求積分相當于求時間和速度關系的曲線下面的面積.牛頓從這些基本概念出發(fā),建立了微積分.
　　微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學成就.牛頓為解決運動問題,才創(chuàng)立這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學理論的,牛頓稱之為"流數(shù)術".它所處理的一些具體問題,如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數(shù)的極大和極小值問題等,在牛頓前已經得到人們的研究了.但牛頓超越了前人,他站在了更高的角度,對以往分散的結論加以綜合,將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——微分和積分,并確立了這兩類運算的互逆關系,從而完成了微積分發(fā)明中最關鍵的一步,為近代科學發(fā)展提供了最有效的工具,開辟了數(shù)學上的一個新紀元.
　　牛頓沒有及時發(fā)表微積分的研究成果,他研究微積分可能比萊布尼茨早一些,但是萊布尼茨所采取的表達形式更加合理,而且關于微積分的著作出版時間也比牛頓早.
　　在牛頓和萊布尼茨之間,為爭論誰是這門學科的創(chuàng)立者的時候,竟然引起了一場悍然大波,這種爭吵在各自的學生、支持者和數(shù)學家中持續(xù)了相當長的一段時間,造成了歐洲大陸的數(shù)學家和英國數(shù)學家的長期對立.英國數(shù)學在一個時期里閉關鎖國,囿于民族偏見,過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術”中停步不前,因而數(shù)學發(fā)展整整落后了一百年.
　　應該說,一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績,它必定是經過多少人的努力后,在積累了大量成果的基礎上,最后由某個人或幾個人總結完成的.微積分也是這樣,是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎上各自獨立的建立起來的.
　　1707年,牛頓的代數(shù)講義經整理后出版,定名為《普遍算術》.他主要討論了代數(shù)基礎及其(通過解方程)在解決各類問題中的應用.書中陳述了代數(shù)基本概念與基本運算,用大量實例說明了如何將各類問題化為代數(shù)方程,同時對方程的根及其性質進行了深入探討,引出了方程論方面的豐碩成果,如:他得出了方程的根與其判別式之間的關系,指出可以利用方程系數(shù)確定方程根之冪的和數(shù),即“牛頓冪和公式”.
　　牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻.他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心,給出密切線圓(或稱曲線圓)概念,提出曲率公式及計算曲線的曲率方法.并將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》,于1704年發(fā)表.此外,他的數(shù)學工作還涉及數(shù)值分析、概率論和初等數(shù)論等眾多領域.
　　在一六六五年,剛好二十二歲的牛頓發(fā)現(xiàn)了二項式定理,這對于微積分的充分發(fā)展是必不可少的一步.二項式定理把能為直接計算所發(fā)現(xiàn)的
　　等簡單結果推廣如下的形式
　　推廣形式
　　二項式級數(shù)展開式是研究級數(shù)論、函數(shù)論、數(shù)學分析、方程理論的有力工具.在今天我們會發(fā)覺這個方法只適用于n是正整數(shù),當n是正整數(shù)1,2,3,. ,級數(shù)終止在正好是n＋1項.如果n不是正整數(shù),級數(shù)就不會終止,這個方法就不適用了.但是我們要知道那時,萊布尼茨在一六九四年才引進函數(shù)這個詞,在微積分早期階段,研究超越函數(shù)時用它們的級來處理是所用方法中最有成效的.
　　創(chuàng)建微積分
　　牛頓在數(shù)學上最卓越的成就是創(chuàng)建微積分.他超越前人的功績在于,他將古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法－－微分和積分,并確立了這兩類運算的互逆關系,如：面積計算可以看作求切線的逆過程.
　　那時萊布尼茲剛好亦提出微積分研究報告,更因此引發(fā)了一場微積分發(fā)明專利權的爭論,直到萊氏去世才停息.而后世己認定微積是他們同時發(fā)明的.
　　微積分方法上,牛頓所作出的極端重要的貢獻是,他不但清楚地看到,而且大膽地運用了代數(shù)所提供的大大優(yōu)越于幾何的方法論.他以代數(shù)方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴羅的幾何方法,完成了積分的代數(shù)化.從此,數(shù)學逐漸從感覺的學科轉向思維的學科.
　　微積分產生的初期,由于還沒有建立起鞏固的理論基礎,被有些喜愛思考的人研究.更因此而引發(fā)了著名的第二次數(shù)學危機.這個問題直到十九世紀極限理論建立,才得到解決.
　　方程論與變分法
　　牛頓在代數(shù)方面也作出了經典的貢獻,他的《廣義算術》大大推動了方程論.他發(fā)現(xiàn)實多項式的虛根必定成雙出現(xiàn),求多項式根的上界的規(guī)則,他以多項式的系數(shù)表示多項式的根n次冪之和公式,給出實多項式虛根個數(shù)的限制的笛卡兒符號規(guī)則的一個推廣.
　　牛頓在還設計了求數(shù)值方程的實根近似值的對數(shù)和超越方程都適用的一種方法,該方法的修正,現(xiàn)稱為牛頓方法.
　　牛頓在力學領域也有偉大的發(fā)現(xiàn),這是說明物體運動的科學.第—運動定律是伽利略發(fā)現(xiàn)的.這個定律闡明,如果物體處于靜止或作恒速直線運動,那么只要沒有外力作用,它就仍將保持靜止或繼續(xù)作勻速直線運動.這個定律也稱慣性定律,它描述了力的一種性質：力可以使物體由靜止到運動和由運動到靜止,也可以使物體由一種運動形式變化為另一種形式.此被稱為牛頓第一定律.力學中最重要的問題是物體在類似情況下如何運動.牛頓第二定律解決了這個問題；該定律被看作是古典物理學中最重要的基本定律.牛頓第二定律定量地描述了力能使物體的運動產生變化.它說明速度的時間變化率（即加速度a與力F成正比,而與物體的質量里成反比,即a=F/m或F＝ma；力越大,加速度也越大；質量越大,加速度就越小.力與加速度都既有量值又有方向.加速度由力引起,方向與力相同；如果有幾個力作用在物體上,就由合力產生加速度,第二定律是最重要的,動力的所有基本方程都可由它通過微積分推導出來.
　　此外,牛頓根據(jù)這兩個定律制定出第三定律.牛頓第三定律指出,兩個物體的相互作用總是大小相等而方向相反.對于兩個直接接觸的物體,這個定律比較易于理解.書本對子桌子向下的壓力等于桌子對書本的向上的托力,即作用力等于反作用力.引力也是如此,飛行中的飛機向上拉地球的力在數(shù)值上等于地球向下拉飛機的力.牛頓運動定律廣泛用于科學和動力學問題上.
　　牛頓運動定律
　　牛頓運動定律是艾薩克·牛頓提出了物理學的三個運動定律的總稱,被譽為是經典物理學的基礎.
　　為“牛頓第一定律（慣性定律：一切物體在不受任何外力的作用下,總保持勻速直線運動狀態(tài)或靜止狀態(tài),直到有外力迫使它改變這種狀態(tài)為止.——它明確了力和運動的關系及提出了慣性的概念）”、“牛頓第二定律（物體的加速度跟物體所受的合外力F成正比,跟物體的質量成反比,加速度的方向跟合外力的方向相同.）公式：F=kma（當m單位為kg,a單位為m/s2時,k=1）、牛頓第三定律（兩個物體之間的作用力和反作用力,在同一條直線上,大小相等,方向相反.）”
　　牛頓法
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　　牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method）,它是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)域和復數(shù)域上近似求解方程的方法.多數(shù)方程不存在求根公式,因此求精確根非常困難,甚至不可能,從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.方法使用函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根.牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大優(yōu)點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂,而且該法還可以用來求方程的重根、復根.另外該方法廣泛用于計算機編程中. 設r是f(x) = 0的根,選取x0作為r初始近似值,過點（x0,f(x0)）做曲線y = f(x)的切線L,L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0),稱x1為r的一次近似值.過點（x1,f(x1)）做曲線y = f(x)的切線,并求該切線與x軸交點的橫坐標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1),稱x2為r的二次近似值.重復以上過程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n)),稱為r的n+1次近似值,上式稱為牛頓迭代公式. 解非線性方程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法.把f(x)在x0點附近展開成泰勒級數(shù) f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其線性部分,作為非線性方程f(x) = 0的近似方程,即泰勒展開的前兩項,則有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 設f'(x0)≠0則其解為x1=x0－f(x0)/f'(x0) 這樣,得到牛頓法的一個迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n)).
　　光學貢獻
　　牛頓望遠鏡
　　在牛頓以前,墨子、培根、達·芬奇等人都研究過光學現(xiàn)象.反射定律是人們很早就認識的光學定律之一.近代科學興起的時候,伽利略靠望遠鏡發(fā)現(xiàn)了“新宇宙”,震驚了世界.荷蘭數(shù)學家斯涅爾首先發(fā)現(xiàn)了光的折射定律.笛卡爾提出了光的微粒說……
　　牛頓以及跟他差不多同時代的胡克、惠更斯等人,也象伽利略、笛卡爾等前輩一樣,用極大的興趣和熱情對光學進行研究.1666年,牛頓在家休假期間,得到了三棱鏡,他用來進行了著名的色散試驗.一束太陽光通過三棱鏡后,分解成幾種顏色的光譜帶,牛頓再用一塊帶狹縫的擋板把其他顏色的光擋住,只讓一種顏色的光在通過第二個三棱鏡,結果出來的只是同樣顏色的光.這樣,他就發(fā)現(xiàn)了白光是由各種不同顏色的光組成的,這是第一大貢獻.
　　牛頓為了驗證這個發(fā)現(xiàn),設法把幾種不同的單色光合成白光,并且計算出不同顏色光的折射率,精確地說明了色散現(xiàn)象.揭開了物質的顏色之謎,原來物質的色彩是不同顏色的光在物體上有不同的反射率和折射率造成的.公元1672年,牛頓把自己的研究成果發(fā)表在《皇家學會哲學雜志》上,這是他第一次公開發(fā)表的論文.
　　許多人研究光學是為了改進折射望遠鏡.牛頓由于發(fā)現(xiàn)了白光的組成,認為折射望遠鏡透鏡的色散現(xiàn)象是無法消除的(后來有人用具有不同折射率的玻璃組成的透鏡消除了色散現(xiàn)象),就設計和制造了反射望遠鏡.
　　牛頓不但擅長數(shù)學計算,而且能夠自己動手制造各種試驗設備并且作精細實驗.為了制造望遠鏡,他自己設計了研磨拋光機,實驗各種研磨材料.公元1668年,他制成了第一架反射望遠鏡樣機,這是第二大貢獻.公元1671年,牛頓把經過改進得反射望遠鏡獻給了皇家學會,牛頓名聲大震,并被選為皇家學會會員.反射望遠鏡的發(fā)明奠定了現(xiàn)代大型光學天文望遠鏡的基礎.
　　同時,牛頓還進行了大量的觀察實驗和數(shù)學計算,比如研究惠更斯發(fā)現(xiàn)的冰川石的異常折射現(xiàn)象,胡克發(fā)現(xiàn)的肥皂泡的色彩現(xiàn)象,“牛頓環(huán)”的光學現(xiàn)象等等.
　　牛頓還提出了光的“微粒說”,認為光是由微粒形成的,并且走的是最快速的直線運動路徑.他的“微粒說”與后來惠更斯的“波動說”構成了關于光的兩大基本理論.此外,他還制作了牛頓色盤等多種光學儀器.
　　構筑力學大廈
　　牛頓是經典力學理論的集大成者.他系統(tǒng)的總結了伽利略、開普勒和惠更斯等人的工作,得到了著名的萬有引力定律和牛頓運動三定律.
　　在牛頓以前,天文學是最顯赫的學科.但是為什么行星一定按照一定規(guī)律圍繞太陽運行?天文學家無法圓滿解釋這個問題.萬有引力的發(fā)現(xiàn)說明,天上星體運動和地面上物體運動都受到同樣的規(guī)律——力學規(guī)律的支配.
　　早在牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律以前,已經有許多科學家嚴肅認真的考慮過這個問題.比如開普勒就認識到,要維持行星沿橢圓軌道運動必定有一種力在起作用,他認為這種力類似磁力,就像磁石吸鐵一樣.1659年,惠更斯從研究擺的運動中發(fā)現(xiàn),保持物體沿圓周軌道運動需要一種向心力.胡克等人認為是引力,并且試圖推到引力和距離的關系.
　　1664年,胡克發(fā)現(xiàn)彗星靠近太陽時軌道彎曲是因為太陽引力作用的結果；1673年,惠更斯推導出向心力定律；1679年,胡克和哈雷從向心力定律和開普勒第三定律,推導出維持行星運動的萬有引力和距離的平方成反比.
　　牛頓自己回憶,1666年前后,他在老家居住的時候已經考慮過萬有引力的問題.最有名的一個說法是：在假期里,牛頓常常在花園里小坐片刻.有一次,象以往屢次發(fā)生的那樣,一個蘋果從樹上掉了下來……
　　一個蘋果的偶然落地,卻是人類思想史的一個轉折點,它使那個坐在花園里的人的頭腦開了竅,引起他的沉思：究竟是什么原因使一切物體都受到差不多總是朝向地心的吸引呢?牛頓思索著.終于,他發(fā)現(xiàn)了對人類具有劃時代意義的萬有引力.
　　牛頓高明的地方就在于他解決了胡克等人沒有能夠解決的數(shù)學論證問題.1679年,胡克曾經寫信問牛頓,能不能根據(jù)向心力定律和引力同距離的平方成反比的定律,來證明行星沿橢圓軌道運動.牛頓沒有回答這個問題.1685年,哈雷登門拜訪牛頓時,牛頓已經發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律：兩個物體之間有引力,引力和距離的平方成反比,和兩個物體質量的乘積成正比.
　　當時已經有了地球半徑、日地距離等精確的數(shù)據(jù)可以供計算使用.牛頓向哈雷證明地球的引力是使月亮圍繞地球運動的向心力,也證明了在太陽引力作用下,行星運動符合開普勒運動三定律.
　　在哈雷的敦促下,1686年底,牛頓寫成劃時代的偉大著作《自然哲學的數(shù)學原理》一書.皇家學會經費不足,出不了這本書,后來靠了哈雷的資助,這部科學史上最偉大的著作之一才能夠在1687年出版.
　　牛頓在這部書中,從力學的基本概念(質量、動量、慣性、力)和基本定律(運動三定律)出發(fā),運用他所發(fā)明的微積分這一銳利的數(shù)學工具,不但從數(shù)學上論證了萬有引力定律,而且把經典力學確立為完整而嚴密的體系,把天體力學和地面上的物體力學統(tǒng)一起來,實現(xiàn)了物理學史上第一次大的綜合.