3．等差數(shù)列的基本性質(zhì)
⑴公差為d的等差數(shù)列,各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差仍為d．
⑵公差為d的等差數(shù)列,各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd．
⑶若{ a }、{ b }為等差數(shù)列,則{ a ±b }與{ka ＋b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列．
⑷對任何m、n ,在等差數(shù)列{ a }中有：a = a + (n－m)d,特別地,當(dāng)m = 1時,便得等差數(shù)列的通項公式,此式較等差數(shù)列的通項公式更具有一般性．
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數(shù),且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等）,那么當(dāng){a }為等差數(shù)列時,有：a + a + a + … = a + a + a + … ．
⑹公差為d的等差數(shù)列,從中取出等距離的項,構(gòu)成一個新數(shù)列,此數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd( k為取出項數(shù)之差)．
⑺如果{ a }是等差數(shù)列,公差為d,那么,a ,a ,…,a 、a 也是等差數(shù)列,其公差為－d；在等差數(shù)列{ a }中,a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )
⑻在等差數(shù)列中,從第一項起,每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它前后兩項的等差中項．
⑼當(dāng)公差d＞0時,等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大；當(dāng)d＜0時,等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的減少而減?。籨＝0時,等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)．
⑽設(shè)a ,a ,a 為等差數(shù)列中的三項,且a 與a ,a 與a 的項距差之比 = （ ≠－1）,則a = ．
5．等差數(shù)列前n項和公式S 的基本性質(zhì)
⑴數(shù)列{ a }為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列{ a }的前n項和S 可以寫成S = an + bn的形式(其中a、b為常數(shù))．
⑵在等差數(shù)列{ a }中,當(dāng)項數(shù)為2n (n N )時,S －S = nd, = ；當(dāng)項數(shù)為(2n－1) (n )時,S －S = a , = ．
⑶若數(shù)列{ a }為等差數(shù)列,則S ,S －S ,S －S ,…仍然成等差數(shù)列,公差為 ．
⑷若兩個等差數(shù)列{ a }、{ b }的前n項和分別是S 、T (n為奇數(shù)),則 = ．
⑸在等差數(shù)列{ a }中,S = a,S = b (n＞m),則S = (a－b)．
⑹等差數(shù)列{a }中, 是n的一次函數(shù),且點（n, ）均在直線y = x + (a － )上．
⑺記等差數(shù)列{a }的前n項和為S ．①若a ＞0,公差d＜0,則當(dāng)a ≥0且a ≤0時,S 最大；②若a ＜0 ,公差d＞0,則當(dāng)a ≤0且a ≥0時,S 最?。?br/>3．等比數(shù)列的基本性質(zhì)
⑴公比為q的等比數(shù)列,從中取出等距離的項,構(gòu)成一個新數(shù)列,此數(shù)列仍是等比數(shù)列,其公比為q ( m為等距離的項數(shù)之差)．
⑵對任何m、n ,在等比數(shù)列{ a }中有：a = a · q ,特別地,當(dāng)m = 1時,便得等比數(shù)列的通項公式,此式較等比數(shù)列的通項公式更具有普遍性．
⑶一般地,如果t ,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數(shù),且t + k,p,…,m + … = m + n + r + … (兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等),那么當(dāng){a }為等比數(shù)列時,有：a ．a(chǎn) ．a(chǎn) ．… = a ．a(chǎn) ．a(chǎn) ．… ．．
⑷若{ a }是公比為q的等比數(shù)列,則{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比數(shù)列,其公比分別為| q |}、{q }、{q}、{ }．
⑸如果{ a }是等比數(shù)列,公比為q,那么,a ,a ,a ,…,a ,…是以q 為公比的等比數(shù)列．
⑹如果{ a }是等比數(shù)列,那么對任意在n ,都有a ·a = a ·q ＞0．
⑺兩個等比數(shù)列各對應(yīng)項的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,且公比等于這兩個數(shù)列的公比的積．
⑻當(dāng)q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0時,等比數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1時,等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時,等比數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)q＜0時,等比數(shù)列為擺動數(shù)列．
4．等比數(shù)列前n項和公式S 的基本性質(zhì)
⑴如果數(shù)列{a }是公比為q 的等比數(shù)列,那么,它的前n項和公式是S =
也就是說,公比為q的等比數(shù)列的前n項和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值,分段的界限是在q = 1處．因此,使用等比數(shù)列的前n項和公式,必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1,如果q可能等于1,則需分q = 1和q≠1進(jìn)行討論．
⑵當(dāng)已知a ,q,n時,用公式S = ；當(dāng)已知a ,q,a 時,用公式S = ．
⑶若S 是以q為公比的等比數(shù)列,則有S = S ＋qS ．⑵
⑷若數(shù)列{ a }為等比數(shù)列,則S ,S －S ,S －S ,…仍然成等比數(shù)列．
⑸若項數(shù)為3n的等比數(shù)列(q≠－1)前n項和與前n項積分別為S 與T ,次n項和與次n項積分別為S 與T ,最后n項和與n項積分別為S 與T ,則S ,S ,S 成等比數(shù)列,T ,T ,T 亦成等比數(shù)列．