根據(jù)題意有對于小環(huán)的運動，根據(jù)環(huán)受豎直向上的拉力F與重力mg的大小分以下三種情況討論：
（1）當mg=kv₀時，即v₀=

mg

k

時，環(huán)做勻速運動，W_f=0，環(huán)克服摩擦力所做的功為零  
（2）當mg＞kv₀時，即v₀＜

mg

k

時，環(huán)在運動過程中做減速運動，直至靜止．由動能定理得環(huán)克服摩擦力所做的功為W_f=

1

2

m

v

20

（3）當mg＜kv₀時，即v₀＞

mg

k

時，環(huán)在運動過程中先做減速運動，當速度減小至滿足mg=kv時，即v=

mg

k

時環(huán)開始做勻速運動．由動能定理得摩擦力做的功
W_f=

1

2

mv2?

1

2

m

v

20

＝

m3g2

2k2

?

1

2

m

v

20

環(huán)克服摩擦力所做的功為

1

2

m

v

20

?

m3g2

2k2

答：環(huán)在運動過程中克服摩擦力所做的功為：
（1）v₀=

mg

k

時，環(huán)做勻速運動，W_f=0，環(huán)克服摩擦力所做的功為零  
（2）v₀＜

mg

k

時，環(huán)克服摩擦力所做的功為W_f=

1

2

m

v

20

（3）v₀＞

mg

k

時，環(huán)克服摩擦力所做的功為

1

2

m

v

20

?

m3g2

2k2