已知圓x^2+y^2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P、Q兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OP垂直于OQ,試求m的值.
圓的方程x² +y² +x-6y+m=0可化為：(x+1/2)² +(y-3)² =37/4 -m
則設(shè)圓的圓心為C(-1/2,3),半徑r=√(37/4 -m)
作線段PQ中點(diǎn)M,連結(jié)MC,PC,易知MC⊥PQ
由于PQ所在直線為x+2y-3=0,故設(shè)直線MC方程為2x-y+D=0
將點(diǎn)C坐標(biāo)代入直線MC方程,可得：
2*(-1/2)-3+D=0,解得D=4
所以直線MC方程為2x-y+4=0
聯(lián)立方程2x-y+4=0,x+2y-3=0求直線PQ與直線MC的交點(diǎn)即PQ中點(diǎn)M
可解得x=-1,y=2
所以中點(diǎn)M坐標(biāo)為(-1,2)
則|OM|=√5,|CM|=√(1/4 +1)=√5/2
因?yàn)镺P⊥OQ,所以
在Rt△OPQ中,由點(diǎn)M是斜邊PQ上的中點(diǎn)可得：
|PQ|=2|OM|=2√5
即|MP|=√5
則在Rt△CMP中,|CM|=√5/2,斜邊|CP|=r=√(37/4 -m)
由勾股定理|CP|²=|MP|²+|CM|²可得：
37/4 -m=5+5/4=25/4
解得m=3