因式分解（factorization）
因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一,它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中,是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具．因式分解方法靈活,技巧性強(qiáng),學(xué)習(xí)這些方法與技巧,不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的,而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能,發(fā)展學(xué)生的思維能力,都有著十分獨(dú)特的作用．初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法．而在競(jìng)賽上,又有拆項(xiàng)和添項(xiàng)法,待定系數(shù)法,雙十字相乘法,輪換對(duì)稱法等．
⑴提公因式法
①公因式：各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的～.
②提公因式法：一般地,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面,將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.
am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
③具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí),公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母,而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的. 如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的,一般要提出“－”號(hào),使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.
⑵運(yùn)用公式法
①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
※能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式,其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式,另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍.
③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數(shù))
⑶分組分解法
分組分解法：把一個(gè)多項(xiàng)式分組后,再進(jìn)行分解因式的方法.
分組分解法必須有明確目的,即分組后,可以直接提公因式或運(yùn)用公式.
⑷拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法
拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）,使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解；要注意,必須在與原多項(xiàng)式相等的原則進(jìn)行變形.
⑸十字相乘法
①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解
這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和.因此,可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分 x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能夠分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 時(shí),那么
kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）
a \-----/b ac＝k bd＝n
c /-----\d ad＋bc＝m
※ 多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：
①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,那么先提公因式；
②如果各項(xiàng)沒有公因式,那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解；
③如果用上述方法不能分解,那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來(lái)分解；
④分解因式,必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.
(6)應(yīng)用因式定理：如果f（a）=0,則f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個(gè)因式.
經(jīng)典例題：
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.證明：對(duì)于任何數(shù)x,y,下式的值都不會(huì)為33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
當(dāng)y=0時(shí),原式=x^5不等于33；當(dāng)y不等于0時(shí),x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積,所以原命題成立
因式分解的十二種方法
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.因式分解的方法多種多樣,現(xiàn)總結(jié)如下：
1、 提公因法
如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 應(yīng)用公式法
由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系,如果把乘法公式反過來(lái),那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式.
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)
a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分組分解法
要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項(xiàng)分成一組,并提出公因式a,把它后兩項(xiàng)分成一組,并提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
對(duì)于mx +px+q形式的多項(xiàng)式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式,有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解.
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項(xiàng)法
可以把多項(xiàng)式拆成若干部分,再用進(jìn)行因式分解.
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 換元法
有時(shí)在分解因式時(shí),可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù),然后進(jìn)行因式分解,最后再轉(zhuǎn)換回來(lái).
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通過綜合除法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1
則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 圖象法
令y=f(x),做出函數(shù)y=f(x)的圖象,找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x ,x ,x ,……x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
令y= x +2x -5x-6
作出其圖象,見右圖,與x軸交點(diǎn)為-3,-1,2
則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先選定一個(gè)字母為主元,然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列,再進(jìn)行因式分解.
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此題可選定a為主元,將其按次數(shù)從高到低排列
a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
將2或10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù),將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合,并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式.
例11、分解因式x +9x +23x+15
令x=2,則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積,即105=3×5×7
注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時(shí)的值
則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系數(shù)法
首先判斷出分解因式的形式,然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù),求出字母系數(shù),從而把多項(xiàng)式因式分解.
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個(gè)二次因式.
設(shè)x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)