二次函數(shù) I.定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系： y=ax^2+bx+c（a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.） 則稱y為x的二次函數(shù). 二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式. II.二次函數(shù)的三種表達式 一般式：y=ax^2;+bx+c（a,b,c為常數(shù),a≠0） 頂點式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P（h,k）] 交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點A（x1,0）和 B（x2,0）的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x²的圖像, 可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線. IV.拋物線的性質(zhì) 1.拋物線是軸對稱圖形.對稱軸為直線 x = -b/2a. 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P. 特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個頂點P,坐標為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]. 當-b/2a=0時,P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上. 3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小. 當a＞0時,拋物線向上開口；當a＜0時,拋物線向下開口. |a|越大,則拋物線的開口越小. 4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置. 當a與b同號時（即ab＞0）,對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0）,對稱軸在y軸右. 5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點. 拋物線與y軸交于（0,c） 6.拋物線與x軸交點個數(shù) Δ= b^2-4ac＞0時,拋物線與x軸有2個交點. Δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點. Δ= b^2-4ac＜0時,拋物線與x軸沒有交點. V.二次函數(shù)與一元二次方程 特別地,二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2;+bx+c, 當y=0時,二次函數(shù)為關于x的一元二次方程（以下稱方程）, 即ax^2;+bx+c=0 此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根. 函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根. 答案補充 畫拋物線y＝ax2時,應先列表,再描點,最后連線.列表選取自變量x值時常以0為中心,選取便于計算、描點的整數(shù)值,描點連線時一定要用光滑曲線連接,并注意變化趨勢. 二次函數(shù)解析式的幾種形式 (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù),a≠0). (2)頂點式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0). (3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根,a≠0. 說明：(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)＝a(x-h)2+k,拋物線的頂點坐標是(h,k),h＝0時,拋物線y＝ax2+k的頂點在y軸上；當k＝0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上；當h＝0且k＝0時,拋物線y＝ax2的頂點在原點 答案補充 如果圖像經(jīng)過原點,并且對稱軸是y軸,則設y=ax^2；如果對稱軸是y軸,但不過原點,則設y=ax^2+k定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系： y=ax^2+bx+c （a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下.IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.） 則稱y為x的二次函數(shù). 二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式. x是自變量,y是x的函數(shù) 二次函數(shù)的三種表達式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0) ②頂點式[拋物線的頂點 P(h,k) ]：y=a(x-h)^2+k ③交點式[僅限于與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進行如下轉(zhuǎn)化： ①一般式和頂點式的關系 對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c,其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點式的關系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)