拓?fù)鋵W(xué),是近代發(fā)展起來的一個(gè)研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支.中文名稱起源于希臘語Τοπολογία的音譯.Topology原意為地貌,于19世紀(jì)中期由科學(xué)家引入,當(dāng)時(shí)主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問題.發(fā)展至今,拓?fù)鋵W(xué)主要研究拓?fù)淇臻g在拓?fù)渥儞Q下的不變性質(zhì)和不變量.
分支學(xué)科
點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)又稱為一般拓?fù)鋵W(xué)
組合拓?fù)鋵W(xué)
代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)
微分拓?fù)鋵W(xué)
幾何拓?fù)鋵W(xué)
拓?fù)鋵W(xué)
拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的、基礎(chǔ)的分支.起初它是幾何學(xué)的一支,研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)(所謂連續(xù)變形,形象地說就是允許伸縮和扭曲等變形,但不許割斷和粘合)；現(xiàn)在已發(fā)展成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支.由于連續(xù)性在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)方式與研究方法的多樣性,拓?fù)鋵W(xué)又分成研究對象與方法各異的若干分支.在拓?fù)鋵W(xué)的孕育階段,19世紀(jì)末,就拓?fù)湟殉霈F(xiàn)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)與組合拓?fù)鋵W(xué)兩個(gè)方向.現(xiàn)在,前者演化為一般拓?fù)鋵W(xué),后者則成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué).后來,又相繼出現(xiàn)了微分拓樸學(xué)、幾何拓?fù)鋵W(xué)等分支.
在數(shù)學(xué)上,關(guān)于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問題.
哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都,普萊格爾河橫貫其中.十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋,將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來.人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步,一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍,最后又回到原來的位置.這個(gè)問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家,很多人在嘗試各種各樣的走法,但誰也沒有做到.看來要得到一個(gè)明確、理想的答案還不那么容易.
1736年,有人帶著這個(gè)問題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉,歐拉經(jīng)過一番思考,很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答.歐拉把這個(gè)問題首先簡化,他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn),而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線.那么這個(gè)問題就簡化成,能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫出來.經(jīng)過進(jìn)一步的分析,歐拉得出結(jié)論——不可能每座橋都走一遍,最后回到原來的位置.并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應(yīng)具有的條件.這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”.
在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中,還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān).這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f,那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2.
根據(jù)多面體的歐拉定理,可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體.它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.
著名的“四色問題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問題.四色問題又稱四色猜想,是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.
四色猜想的提出來自英國.1852年,畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí),發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來,每幅地圖都可以用四種顏色著色,使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色.”
1872年,英國當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會提出了這個(gè)問題,于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題.世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn).1878～1880年兩年間,著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文,宣布證明了四色定理.但后來數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的.不久,泰勒的證明也被人們否定了.于是,人們開始認(rèn)識到,這個(gè)貌似容易的題目,其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題.
進(jìn)入20世紀(jì)以來,科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行.電子計(jì)算機(jī)問世以后,由于演算速度迅速提高,加之人機(jī)對話的出現(xiàn),大大加快了對四色猜想證明的進(jìn)程.1976年,美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上,用了1200個(gè)小時(shí),作了100億判斷,終于完成了四色定理的證明.不過不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就,他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡捷明快的書面證明方法.
上面的幾個(gè)例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問題,但這些問題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同,而是一些新的幾何概念.這些就是“拓?fù)鋵W(xué)”的先聲.
什么是拓?fù)鋵W(xué)?
拓?fù)鋵W(xué)的英文名是Topology,直譯是地志學(xué),也就是和研究地形、地貌相類似的有關(guān)學(xué)科.我國早期曾經(jīng)翻譯成“形勢幾何學(xué)”、“連續(xù)幾何學(xué)”、“一對一的連續(xù)變換群下的幾何學(xué)”,但是,這幾種譯名都不大好理解,1956年統(tǒng)一的《數(shù)學(xué)名詞》把它確定為拓?fù)鋵W(xué),這是按音譯過來的.
拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支,但是這種幾何學(xué)又和通常的平面幾何、立體幾何不同.通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì).拓?fù)鋵W(xué)對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無關(guān).
舉例來說,在通常的平面幾何里,把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上,如果完全重合,那么這兩個(gè)圖形叫做全等形.但是,在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形,在運(yùn)動(dòng)中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化.在拓?fù)鋵W(xué)里沒有不能彎曲的元素,每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變.例如,前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時(shí)候,他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀,僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù).這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問題的出發(fā)點(diǎn).
拓?fù)湫再|(zhì)有那些呢?首先我們介紹拓?fù)涞葍r(jià),這是比較容易理解的一個(gè)拓?fù)湫再|(zhì).
在拓?fù)鋵W(xué)里不討論兩個(gè)圖形全等的概念,但是討論拓?fù)涞葍r(jià)的概念.比如,盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同,在拓?fù)渥儞Q下,它們都是等價(jià)圖形.左圖的三樣?xùn)|西就是拓?fù)涞葍r(jià)的,換句話講,就是從拓?fù)鋵W(xué)的角度看,它們是完全一樣的.
在一個(gè)球面上任選一些點(diǎn)用不相交的線把它們連接起來,這樣球面就被這些線分成許多塊.在拓?fù)渥儞Q下,點(diǎn)、線、塊的數(shù)目仍和原來的數(shù)目一樣,這就是拓?fù)涞葍r(jià).一般地說,對于任意形狀的閉曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的變換就是拓?fù)渥兓?就存在拓?fù)涞葍r(jià).
應(yīng)該指出,環(huán)面不具有這個(gè)性質(zhì).比如像左圖那樣,把環(huán)面切開,它不至于分成許多塊,只是變成一個(gè)彎曲的圓桶形,對于這種情況,我們就說球面不能拓?fù)涞淖兂森h(huán)面.所以球面和環(huán)面在拓?fù)鋵W(xué)中是不同的曲面.
直線上的點(diǎn)和線的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系,在拓?fù)渥儞Q下不變,這是拓?fù)湫再|(zhì).在拓?fù)鋵W(xué)中曲線和曲面的閉合性質(zhì)也是拓?fù)湫再|(zhì).
我們通常講的平面、曲面通常有兩個(gè)面,就像一張紙有兩個(gè)面一樣.但德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面.這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿兩個(gè)側(cè)面.
拓?fù)渥儞Q的不變性、不變量還有很多,這里不在介紹.
拓?fù)鋵W(xué)建立后,由于其它數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展需要,它也得到了迅速的發(fā)展.特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后,他把拓?fù)鋵W(xué)概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ),更加促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展.
二十世紀(jì)以來,集合論被引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué),為拓?fù)鋵W(xué)開拓了新的面貌.拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對應(yīng)的概念.拓?fù)鋵W(xué)中一些需要精確化描述的問題都可以應(yīng)用集合來論述.
因?yàn)榇罅孔匀滑F(xiàn)象具有連續(xù)性,所以拓?fù)鋵W(xué)具有廣泛聯(lián)系各種實(shí)際事物的可能性.通過拓?fù)鋵W(xué)的研究,可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu),從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系.本世紀(jì)三十年代以后,數(shù)學(xué)家對拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入,提出了許多全新的概念.比如,一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等.有一門數(shù)學(xué)分支叫做微分幾何,是用微分工具來研究取線、曲面等在一點(diǎn)附近的彎曲情況,而拓?fù)鋵W(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況,因此,這兩門學(xué)科應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系.1945年,美籍中國數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系,并推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展.
拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展到今天,在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個(gè)分支.一個(gè)分支是偏重于用分析的方法來研究的,叫做點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué),或者叫做分析拓?fù)鋵W(xué).另一個(gè)分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的,叫做代數(shù)拓?fù)?現(xiàn)在,這兩個(gè)分支又有統(tǒng)一的趨勢.
拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢分析學(xué),這是G．W．萊布尼茨1679年提出的名詞.拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)詞(中文是音譯)是J．B．利斯廷1847年提出的,源自希臘文位置、形勢與學(xué)問.
1851年起,B．黎曼在復(fù)變函數(shù)的研究中提出,為了研究函數(shù)、研究積分,就必須研究形勢分析學(xué).從此開始了拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究.
組合拓?fù)鋵W(xué)的奠基人是H．龐加萊.他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中,特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中,引向拓?fù)鋵W(xué)問題.他探討了三維流形的拓?fù)浞诸悊栴},提出了著名的龐加萊猜想.
拓?fù)鋵W(xué)的另一淵源是分析學(xué)的嚴(yán)密化.實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義推動(dòng)了G．康托爾從1873年起系統(tǒng)地展開了歐氏空間中的點(diǎn)集的研究,得出許多拓?fù)涓拍?如：聚點(diǎn)、開集、連通性等.在點(diǎn)集論的思想影響下,分析學(xué)中出現(xiàn)了泛函數(shù)(即函數(shù)的函數(shù))的概念.把函數(shù)集看成一種幾何對象并討論其中的極限,這終于導(dǎo)致了抽象空間的觀念.
拓?fù)鋯栴}的一些初等例子：
柯尼斯堡七橋問題(一筆劃問題).一個(gè)散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋只經(jīng)過一次?這個(gè)18世紀(jì)的智力游戲,被L．歐拉簡化為用細(xì)線畫出的網(wǎng)絡(luò)能否一筆劃出的問題,然后他證明了這是根本辦不到的.一個(gè)網(wǎng)絡(luò)能否被一筆畫出,與線條的長短曲直無關(guān),只決定于其中的點(diǎn)與線的連接方式.設(shè)想一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是用柔軟而有彈性的材料制作的,在它被彎曲、拉伸后,能否一筆畫出的性質(zhì)是不會改變的.
歐拉的多面體公式與曲面的分類.歐拉發(fā)現(xiàn),不論什么形狀的凸多面體,其頂點(diǎn)數(shù) 、棱數(shù) 、面數(shù) 之間總有 這個(gè)關(guān)系.由此可證明正多面體只有五種.如果多面體不是凸的而呈框形（圖33）,則不管框的形狀如何,總有 .這說明,凸形與框形之間有比長短曲直更本質(zhì)的差別,通俗地說,框形里有個(gè)洞.
在連續(xù)變形下,凸體的表面可以變成球面,框的表面可以變成環(huán)面（輪胎面）.這兩者都不能通過連續(xù)變形互變（圖34）.在連續(xù)變形下封門曲面有多少種不同類型?怎樣鑒別他們?這曾是19世紀(jì)后半葉拓?fù)鋵W(xué)研究的主要問題.
紐結(jié)問題.空間中一條自身不相交的封閉曲線,會發(fā)生打結(jié)現(xiàn)象.要問一個(gè)結(jié)能否解開（即能否變形成平放的圓圈）,或者問兩個(gè)結(jié)能否互變（如圖35中兩個(gè)三葉結(jié)能否互變）.同時(shí)給出嚴(yán)格證明,那遠(yuǎn)不是件容易的事了.
布線問題（嵌入問題）.一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)能否布在平面上而又不自相交叉?做印制電路時(shí)自然會碰到這個(gè)問題.圖36左面的圖,把一條對角線移到方形外面就可以布在平面上.但圖37中兩個(gè)圖卻無論怎樣移動(dòng)都不能布在平面上.1930年K•庫拉托夫斯基證明,一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否能嵌入平面,就看其中是否不含有這兩個(gè)圖之一.
以上這些例子說明,幾何圖形還有一些不能用傳統(tǒng)的幾何方法來研究的性質(zhì).這些性質(zhì)與長度、角度無關(guān),它們所表現(xiàn)的是圖形整體結(jié)構(gòu)方面的特征.這種性質(zhì)就是圖形的所謂拓?fù)湫再|(zhì).
拓?fù)鋵W(xué)的由來
幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門數(shù)學(xué)分支,它屬于幾何學(xué)的范疇.有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了.那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題,后來在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位.
在數(shù)學(xué)上,關(guān)于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問題.
哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都,普萊格爾河橫貫其中.十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋,將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來.人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步,一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍,最后又回到原來的位置.這個(gè)問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家,很多人在嘗試各種各樣的走法,但誰也沒有做到.看來要得到一個(gè)明確、理想的答案還不那么容易.
1736年,有人帶著這個(gè)問題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉,歐拉經(jīng)過一番思考,很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答.歐拉把這個(gè)問題首先簡化,他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn),而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線.那么這個(gè)問題就簡化成,能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫出來.經(jīng)過進(jìn)一步的分析,歐拉得出結(jié)論——不可能每座橋都走一遍,最后回到原來的位置.并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應(yīng)具有的條件.這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”.
在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中,還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān).這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f,那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2.
根據(jù)多面體的歐拉定理,可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體.它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.
著名的“四色問題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問題.四色問題又稱四色猜想,是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.
四色猜想的提出來自英國.1852年,畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí),發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來,每幅地圖都可以用四種顏色著色,使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色.”
1872年,英國當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會提出了這個(gè)問題,于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題.世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn).1878～1880年兩年間,著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文,宣布證明了四色定理.但后來數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的.不久,泰勒的證明也被人們否定了.于是,人們開始認(rèn)識到,這個(gè)貌似容易的題目,其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題.
進(jìn)入20世紀(jì)以來,科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行.電子計(jì)算機(jī)問世以后,由于演算速度迅速提高,加之人機(jī)對話的出現(xiàn),大大加快了對四色猜想證明的進(jìn)程.1976年,美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上,用了1200個(gè)小時(shí),作了100億判斷,終于完成了四色定理的證明.不過不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就,他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡捷明快的書面證明方法.
上面的幾個(gè)例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問題,但這些問題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同,而是一些新的幾何概念.這些就是“拓?fù)鋵W(xué)”的先聲.、