如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．（1）求證：直線EF是⊙O的切線；（2）求sin∠E的值．

如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）求sin∠E的值．

數(shù)學(xué)人氣：601 ℃時間：2019-08-17 23:43:33

優(yōu)質(zhì)解答

（1）證明：方法1：連接OD、CD．
∵BC是直徑，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC．
∴D是AB的中點．
∵O為CB的中點，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF．
∴EF是O的切線．
方法2：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．
即∠EDO=90°，
∴OD⊥ED
∴EF是O的切線．
（2）連BG．
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°．
∴CD=

AC2?AD2

＝

102?62

=8．
∵AB?CD=2S_△ABC=AC?BG，
∴BG=

AB?CD

＝

12×8

＝

．
∴CG=

BC2?BG2

＝

102?(

＝

．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴sin∠E=sin∠CBG=

＝

．

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如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E． （1）求證：直線EF是⊙O的切線； （2）求sin∠E的值．

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