二次根式屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容,它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平方根、立方根等內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,是對(duì)七年級(jí)上冊(cè)“實(shí)數(shù)”“代數(shù)式”等內(nèi)容的延伸和補(bǔ)充.二次根式的運(yùn)算以整式的運(yùn)算為基礎(chǔ),在進(jìn)行二次根式的有關(guān)運(yùn)算時(shí),所使用的運(yùn)算法則與整式、分式的相關(guān)法則類似；在進(jìn)行二次根式的加減時(shí),所采用的方法與合并同類項(xiàng)類似；在進(jìn)行二次根式的乘除時(shí),所使用的法則和公式與整式的乘法運(yùn)算法則及乘法公式類似.這些都說明了前后知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.
本章的主要內(nèi)容有二次根式,二次根式的性質(zhì),二次根式的運(yùn)算（根號(hào)內(nèi)不含字母、不含分母有理化）.
一、教科書內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)
本章的教學(xué)要求.
（1）了解二次根式的概念,了解簡(jiǎn)單二次根式的字母取值范圍；
（2）了解二次根式的性質(zhì)；
（3）了解二次根式的加、減、乘、除的運(yùn)算法則；
（4）會(huì)用二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算（不要求分母有理化）.
本章教材分析.
課本在回顧算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上,通過“合作學(xué)習(xí)”的三個(gè)問題引出二次根式的概念,并說明以前學(xué)的數(shù)的算術(shù)平方根也叫做二次根式.在例題和練習(xí)的安排上,著重體現(xiàn)三個(gè)方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范圍；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有關(guān)的問題.
對(duì)于二次根式的性質(zhì),課本利用第4頁圖1-2給出的.該圖的含義是如果正方形的面積為,那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)就是；反之,如果正方形的邊長(zhǎng)為,那么這個(gè)正方形的面積就是,因此就有.從而得出二次根式的第一個(gè)性質(zhì).至于第二個(gè)性質(zhì),可以通過學(xué)生的計(jì)算來發(fā)現(xiàn),所以課本安排了一個(gè)“合作學(xué)習(xí)”,讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)和歸納.該節(jié)第一課時(shí)的重點(diǎn)在于對(duì)這兩個(gè)性質(zhì)的理解和運(yùn)用,例題和練習(xí)的設(shè)計(jì)就圍繞這兩個(gè)性質(zhì)展開.第二課時(shí)是學(xué)習(xí)二次根式的另外兩個(gè)性質(zhì),課本安排兩組練習(xí),意在讓學(xué)生通過自己的嘗試,與同學(xué)的合作交流來發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)性質(zhì).通過兩個(gè)例題和一組練習(xí),使學(xué)生知道運(yùn)用二次根式的性質(zhì),可以簡(jiǎn)化實(shí)數(shù)的運(yùn)算,也可以對(duì)結(jié)果是二次根式的式子進(jìn)行化簡(jiǎn).課本第9頁的“探究活動(dòng)”既是對(duì)二次根式的運(yùn)用,更在于培養(yǎng)學(xué)生的一種探究能力,觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納等能力.
第1.3節(jié)二次根式的運(yùn)算,包含了二次根式的加、減、乘、除四種運(yùn)算以及簡(jiǎn)單應(yīng)用,課本安排了3個(gè)課時(shí),逐步推進(jìn),逐漸綜合.第一課時(shí)側(cè)重于兩個(gè)（相當(dāng)于兩個(gè)單項(xiàng)式）二次根式的乘除,其法則是從二次根式的性質(zhì)得到的,比較自然.例1是對(duì)兩個(gè)運(yùn)算法則的直接運(yùn)用,讓學(xué)生有一個(gè)對(duì)法則的熟悉和熟練過程；例2是一個(gè)結(jié)合實(shí)際問題的運(yùn)用,其中有勾股定理和三角形的面積計(jì)算.第二課時(shí)是二次根式的加減和乘除混合運(yùn)算,出現(xiàn)了類似單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式（包括乘法公式、乘方）、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算.課本中沒有出現(xiàn)“同類二次根式”的概念,只是提到“類似于合并同類項(xiàng)”“相同二次根式的項(xiàng)”,這種類比的方法,學(xué)生是能夠理解的,也能夠與整式一樣進(jìn)行運(yùn)算.第三課時(shí)是二次根式運(yùn)算的應(yīng)用.例6的數(shù)字看上去比較復(fù)雜,其目的是為了二次根式的運(yùn)算的應(yīng)用；例7綜合運(yùn)用了直角三角形的有關(guān)知識(shí)、圖形的分割、面積的計(jì)算等,其解答過程較長(zhǎng),也是對(duì)二次根式知識(shí)的綜合運(yùn)用.
二、本章編寫特點(diǎn)
注重學(xué)生的觀察、分析、歸納、探究等能力的培養(yǎng).
在本章知識(shí)的呈現(xiàn)方式上,課本比較突出地體現(xiàn)了“問題情境——數(shù)學(xué)活動(dòng)——概括——鞏固、應(yīng)用和拓展”的敘述模式,這種意圖大多通過“合作學(xué)習(xí)” 來完成.“合作學(xué)習(xí)”為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了從事觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì).如第5頁先讓學(xué)生計(jì)算三組與的具體數(shù)值,再議一議與的關(guān)系,然后得出二次根式的性質(zhì)“=”.二次根式的其他幾個(gè)性質(zhì),課本中也是采用類似的方法.在學(xué)習(xí)了二次根式的有關(guān)性質(zhì)后,課本又設(shè)計(jì)了一個(gè)“探究活動(dòng)”,通過化簡(jiǎn)有關(guān)的二次根式,讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、表示規(guī)律、驗(yàn)證規(guī)律,并與同伴交流.所有這些都是教材編寫的一種導(dǎo)向,以引起教與學(xué)方式上的一些的改變.
注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.
教材力求克服傳統(tǒng)觀念上學(xué)習(xí)二次根式的枯燥性,避免大量純式子的化簡(jiǎn)或計(jì)算,適當(dāng)穿插實(shí)際應(yīng)用或賦予式子一些實(shí)際意義.無論是學(xué)習(xí)二次根式的概念,還是學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算,都盡可能把所學(xué)的知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系,重視運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng).如二次根式概念的學(xué)習(xí),課本通過三個(gè)實(shí)際問題來引入,其目的就是關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過程,克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式.又如,課本第3頁,用二次根式表示輪船航行的的距離,第11頁求路標(biāo)的面積,第21頁花草的種植面積問題等.特別是在二次根式的運(yùn)算中,專門安排了一節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)二次根式運(yùn)算的應(yīng)用,例6選取的背景是學(xué)生熟悉的滑梯,例7選取的背景是學(xué)生感興趣的剪紙條,以及作業(yè)中的堤壩、快艇問題等等.
充分利用圖形,使代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合.
對(duì)于數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容,教材重視有關(guān)內(nèi)容的幾何背景,運(yùn)用幾何直觀幫助學(xué)生理解、解決有關(guān)代數(shù)問題,是教材的一個(gè)編寫特點(diǎn),也是對(duì)教學(xué)的一種導(dǎo)向.本章中,如二次根式與直角三角形有關(guān)邊的計(jì)算密切相關(guān),課本在這方面選取了一定量的問題,既豐富了勾股定理的運(yùn)用,又學(xué)習(xí)了二次根式的計(jì)算.又如二次根式的引入,課本以圖形作為條件,讓學(xué)生通過計(jì)算給出二次根式的概念；在學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì)時(shí),課本通過讓學(xué)生讀圖1-2,從正反兩方面來理解其含義,得出二次根式的性質(zhì).例題中結(jié)合圖形示意,幫助學(xué)生理解問題,解決問題；作業(yè)或課本練習(xí)中設(shè)計(jì)一些圖形中有關(guān)線段長(zhǎng)度的計(jì)算；通過方格、直角坐標(biāo)系來畫三角形、確定點(diǎn)的位置等等.課本在安排二次根式的運(yùn)算在日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用時(shí),所選取的問題也在于體現(xiàn)學(xué)生所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,感受所學(xué)知識(shí)的整體性,不斷豐富學(xué)生解決問題的策略,提高解決問題的能力.
三、教學(xué)建議
注意用好節(jié)前語.
本章的節(jié)前語不多,但都緊密結(jié)合本節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容,提出一個(gè)具體的問題.教學(xué)中可以利用它們來創(chuàng)設(shè)問題情境,引入課題.如第1.1節(jié)“排球網(wǎng)的高AD為2.43米,CB為米,你能用代數(shù)式表示AC的長(zhǎng)嗎?”短短的幾句話,既是一個(gè)學(xué)生熟悉的問題情境,又是一個(gè)看似熟悉但又具有一定的挑戰(zhàn)懷,與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相聯(lián)系的問題,教師可以由此提出一個(gè)與本節(jié)課學(xué)習(xí)有關(guān)的問題.教學(xué)中不應(yīng)忽視這種作用.
注意把握教學(xué)難度.
與以往的教材相比,二次根式已降低了要求.如運(yùn)用二次根式的性質(zhì)將二次根式化簡(jiǎn),只要求簡(jiǎn)單的,不要出現(xiàn)過于復(fù)雜的式子,并且明確根號(hào)內(nèi)不含字母.對(duì)二次根式的四則運(yùn)算,也僅局限于簡(jiǎn)單的,根號(hào)內(nèi)不含字母,教學(xué)中不需補(bǔ)充超出課本題目要求的問題.當(dāng)然對(duì)不同層次的學(xué)生,應(yīng)該體現(xiàn)一定的彈性.課本第15頁的作業(yè)題中的第7,8題,還可以借助于計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算.
充分運(yùn)用類比的方法.
二次根式的運(yùn)算以整式的運(yùn)算為基礎(chǔ),其法則、公式都與整式的類似,特別是二次根式的加減,課本沒有提出同類二次根式的概念,完全參照合并同類項(xiàng)的方法；二次根式的乘除、乘方運(yùn)算類似于整式的乘除、乘方運(yùn)算.因此對(duì)于二次根式的四則運(yùn)算的教學(xué)應(yīng)充分運(yùn)用類比的方法,讓學(xué)生理解其算理和算法,提高運(yùn)算能力.
第2章一元二次方程
一、教科書內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
（一）教科書內(nèi)容
本章包括三節(jié)：
2．1 一元二次方程；
2．2一元二次方程的解法；
2．3一元二次方程的應(yīng)用.
其中2．1節(jié)是全章的基礎(chǔ)部分,2．2節(jié)是全章的重點(diǎn)內(nèi)容,2．3節(jié)是知識(shí)應(yīng)用和引申的內(nèi)容.另外,閱讀材料介紹了一元二次方程的發(fā)展,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史.
（三）課程目標(biāo)
（1）了解一元二次方程的概念,會(huì)用直接開平方法解形如（b≥0）的方程；
（2）理解配方法,會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo),會(huì)用求根公式解一元二次方程；會(huì)用因式分解法解一元二次方程,使學(xué)生能夠根據(jù)方程的特征,靈活運(yùn)用一元二次方程的各種解法求方程的根.
（3）體驗(yàn)用觀察法、畫圖或計(jì)算器等手段估計(jì)方程的解的過程.
（4）能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,能夠列出一元二程方程解應(yīng)用題,能夠發(fā)現(xiàn)、提出日常生活、生產(chǎn)或其他學(xué)科中可利用一元二次方程來解決的實(shí)際問題,并正確地用語言表達(dá)問題及解決過程.體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型.
（5）結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力,對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義觀點(diǎn)的教育,通過一元二次方程的教學(xué),使學(xué)生進(jìn)一步獲得對(duì)事物可以轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí). 二次根式、一元二次方程、命題的判斷證明、四邊形