實驗六教堂頂部曲面面積的計算方法
一、實驗目的
本實驗主要涉及微機分,通過實驗將復習曲面面積的計算,重積分和Taylor展開等知識;另外將介紹重積分的數(shù)值計算方法和取得函數(shù)近似解析式的攝動方法.
二、實際問題
某個阿拉伯國家有一座著名的伊斯蘭教堂,它以中央大廳的金色巨大拱形圓頂名震遐爾.因年久失修,國王下令將教堂頂部重新貼金箔裝飾.據(jù)檔案記載,大廳的頂部形狀為半球形,其半徑為30m.考慮到可能的損耗和其它技術(shù)原因,實際用量將會比教堂頂部面積多1.5%.據(jù)此,國王的財政大臣撥出了可制造5,750m 有規(guī)定厚度金箔的黃金.建筑商人哈商略通數(shù)學,他計算一下,覺得黃金會有盈余.于是,他以較低的承包價得到了這項裝飾工程.但在施工前的測量中,工程師發(fā)現(xiàn)教堂頂部實際上并非是一個精確的半球面而是半橢球面,其半立軸恰好30m,而半長軸和半短軸分別是30.6m和29.6m.這一來哈桑犯了愁,他擔心黃金是否會有盈余?甚至可能短缺.最后的結(jié)果究竟如何呢?
三、數(shù)學模型
取球面中心為坐標原點建立直角坐標系,則教堂頂部半橢球面方程可表示為:
(6.1)
其中R=30,a=30.6,b=29.6,而其表面積為:
(6.2)
這里積分區(qū)域 為:
通過簡單的計算容易得到:

引進變量代換：
則有
(6.3)
這個積分相當復雜,是一個無法用初等函數(shù)形式表示的積分.
四、數(shù)值積分方法
對于二重積分,可以如同一元函數(shù)定積分那樣,將區(qū)域劃分為小塊,然后在每個區(qū)域上對被積函數(shù)作近似簡化求積,再把所得的值求和即可.
考慮矩形區(qū)域 上的二重積分
(6.4)
將 劃分作 個相等的小矩形{ },其中 和 分別是 和 方向的分點:

而,那么小矩形上的積分可分寫為:
(6.5)
記
則
若對這兩個單積分都用梯形法,就有

而
(6.6)
這樣便可求得在 上的積分 的近似值
(6.7)
當將分點增加一倍使得 而記

那么對
（6.8）
的兩次積分都用Simpson 法,就得到
（6.9）
從而


（6.10）
于是有積分I的近似值為
,奇數(shù) (6.11)
為了形象地表現(xiàn)由式(6.6)和式(6.10)給出的計算格式,常用的辦法是如圖2.1那樣在分割的小矩形頂點上標出相應的函數(shù)值和式中的加權(quán)數(shù).
11 (i,j) 14 1 (i+1,j+1 )

11
1(i-1,j-1)11 1
(i-1,j-1)
(格式(6.6)) (格式(6.10))
圖6-1
對于矩形區(qū)域的重積分,還存在其他的計算格式;另外,對于一些規(guī)則區(qū)域,也有相應的近似計算格式,讀者可以在數(shù)值計算的有關(guān)書籍或數(shù)學手冊中查閱.
對于問題中的面積 ,由于積分表達式(6.3)在 處的奇性(被積函數(shù)分母為零),不能直接對此式用上述數(shù)值方法.但只要作一個變換
(6.12)
就可以將(6.3)改寫為(學員自行驗證)(6.13)
現(xiàn)在我們可以用數(shù)值積分的方法了.把二重積分(6.13)的積分區(qū)域
分割為 個小矩形,利用近似格式(6.8),我們得到如表6.1的計算結(jié)果:
表6.1
m Sm S
2 5621.42 16 5679.83
4 5679.78 24 5679.82
6 5679.89 44 5679.81
10 5679.84 100 5679.81
從所得結(jié)果看,取面積值為5679.81( )已經(jīng)極為精確,若僅要求精確到0.1 （ ） ,那么計算量可大大減少,此時,而
S 5679.81( )
加上技術(shù)與損耗等原因,教堂頂部實際使用金箔總面積為

顯然,建筑商人哈桑在金箔上將入不敷出,從而招受損失.
建議讀者用近似格式(6.10)格式再算一次,以作比較. 數(shù)值積分的方法給出了近似結(jié)果,以下我們再介紹另一種近似方法.
五.攝動方法
簡單地說,攝動方法就是對解析式中的小參數(shù)進行展開,從而求得近似解析解的方法.應用與積分計算,常常是采取將被積函數(shù)(或其部分)展開的方法.我們先通過一個簡單例子來說明這方法.
對于 ,計算
(6.14)
利用Taylor 公式,關(guān)于參數(shù) 展開,有


+
余項的寫法考慮到了 .我們稱級數(shù) 為函數(shù)的漸近級數(shù),通常應用漸近級數(shù)的有限項來近似函數(shù).例如,在這里把前 項替換代入積分式(6.14),那么由于

可得
(6.15)
當 時,用上式前5項計算 的誤差不超過0.01,可見這方法是相當有效的.
現(xiàn)在回到曲面面積的計算,由于 十分接近 ,因此可以引進小參數(shù)
(6.16)
那么面積表達式(6.3)成為

(6.17)
應用攝動方法,要對函數(shù)

關(guān)于小參數(shù) 展開.在這種雙參數(shù)的情況下我們可以直接運用二元函數(shù)的Taylor公式,但也可以借助一元函數(shù)的Taylor 公式,即先將函數(shù)中的 看作一個整體(一項)進行展開,然后再作進一步的處理.從而可得

(6.18)
注意由(6.16),有

它們都是很小的數(shù).

把式(6.18)的前有限項代入式(6.17),就可以逐項積分,容易求得


如果就取這三項的值,則求得教堂頂部面積為:

這個數(shù)值在用積分近似格式(6.6)時需要取 才能得到