導(dǎo)數(shù)（derivative）
亦名微商,由速度變化問(wèn)題和曲線的切線問(wèn)題而抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念.又稱變化率.
如一輛汽車在10小時(shí)內(nèi)走了 600千米,它的平均速度是60千米／小時(shí),但在實(shí)際行駛過(guò)程中,是有快慢變化的,不都是60千米／小時(shí).為了較好地反映汽車在行駛過(guò)程中的快慢變化情況,可以縮短時(shí)間間隔,設(shè)汽車所在位置s與時(shí)間t的關(guān)系為s＝f（t）,那么汽車在由時(shí)刻t0變到t1這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0],當(dāng) t1與t0很接近時(shí),汽車行駛的快慢變化就不會(huì)很大,平均速度就能較好地反映汽車在t0 到 t1這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)變化情況,自然就把極限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作為汽車在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度,這就是通常所說(shuō)的速度.一般地,假設(shè)一元函數(shù) y＝f(x )在 x0點(diǎn)的附近(x0－a ,x0 ＋a)內(nèi)有定義,當(dāng)自變量的增量Δx＝ x－x0→0時(shí)函數(shù)增量 Δy＝f（x）－ f（x0）與自變量增量之比的極限存在且有限,就說(shuō)函數(shù)f在x0點(diǎn)可導(dǎo),稱之為f在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（或變化率).若函數(shù)f在區(qū)間I 的每一點(diǎn)都可導(dǎo),便得到一個(gè)以I為定義域的新函數(shù),記作 f′,稱之為f的導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù).函數(shù)y＝f（x）在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義：表示曲線l 在P0〔x0,f（x0）〕點(diǎn)的切線斜率.
導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念. 導(dǎo)數(shù)定義為：當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí),因變量的增量與自變量的增量之商的極限.在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí),稱這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分.可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù).不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo).
物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)表示.如,導(dǎo)數(shù)可以表示運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度和加速度、可以表示曲線在一點(diǎn)的斜率、還可以表示經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和彈性.
以上說(shuō)的經(jīng)典導(dǎo)數(shù)定義可以認(rèn)為是反映局部歐氏空間的函數(shù)變化. 為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場(chǎng)）的變化,導(dǎo)數(shù)的概念被推廣為所謂的“聯(lián)絡(luò)”.有了聯(lián)絡(luò),人們就可以研究大范圍的幾何問(wèn)題,這是微分幾何與物理中最重要的基礎(chǔ)概念之一.
求導(dǎo)數(shù)的方法
（1）求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟：
① 求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
② 求平均變化率
③ 取極限,得導(dǎo)數(shù).
（2）幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：
① C'=0(C為常數(shù))；
② (x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q)；
③ (sinx)'=cosx；
④ (cosx)'=-sinx；
⑤ (e^x)'=e^x；
⑥ (a^x)'=a^xIna （ln為自然對(duì)數(shù)）
⑦ (Inx)'=1/x（ln為自然對(duì)數(shù)）
（3）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
（4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)--稱為鏈?zhǔn)椒▌t.
導(dǎo)數(shù)是微積分的一個(gè)重要的支柱!
導(dǎo)數(shù)公式及證明 這里將列舉幾個(gè)基本的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及它們的推導(dǎo)過(guò)程:
1.y=c(c為常數(shù)) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
在推導(dǎo)的過(guò)程中有這幾個(gè)常見的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(shù)(x）看作整個(gè)變量,而g'(x)中把x看作變量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y）,則有y'=1/x'
證：1.顯而易見,y=c是一條平行于x軸的直線,所以處處的切線都是平行于x的,故斜率為0.用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0.
2.這個(gè)的推導(dǎo)暫且不證,因?yàn)槿绻鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實(shí)數(shù)的一般情況.在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個(gè)結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明.
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的,必須設(shè)一個(gè)輔助的函數(shù)β＝a^⊿x-1通過(guò)換元進(jìn)行計(jì)算.由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：⊿x=loga(1+β).
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
顯然,當(dāng)⊿x→0時(shí),β也是趨向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
把這個(gè)結(jié)果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.
可以知道,當(dāng)a=e時(shí)有y=e^x y'=e^x.
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因?yàn)楫?dāng)⊿x→0時(shí),⊿x/x趨向于0而x/⊿x趨向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x.
可以知道,當(dāng)a=e時(shí)有y=lnx y'=1/x.
這時(shí)可以進(jìn)行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導(dǎo)了.因?yàn)閥=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1).
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.類似地,可以導(dǎo)出y=cosx y'=-sinx.
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在對(duì)雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)通過(guò)查閱導(dǎo)數(shù)表和運(yùn)用開頭的公式與
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能較快捷地求得結(jié)果.
對(duì)于y=x^n y'=nx^(n-1) ,y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求導(dǎo)方法.
y=x^n
由指數(shù)函數(shù)定義可知,y>0
等式兩邊取自然對(duì)數(shù)
ln y=n*ln x
等式兩邊對(duì)x求導(dǎo),注意y是y對(duì)x的復(fù)合函數(shù)
y' * (1/y)=n*(1/x)
y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)
冪函數(shù)同理可證
導(dǎo)數(shù)說(shuō)白了它其實(shí)就是斜率
上面說(shuō)的分母趨于零,這是當(dāng)然的了,但不要忘了分子也是可能趨于零的,所以兩者的比就有可能是某一個(gè)數(shù),如果分子趨于某一個(gè)數(shù),而不是零的話,那么比值會(huì)很大,可以認(rèn)為是無(wú)窮大,也就是我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)不存在.
x/x,若這里讓X趨于零的話,分母是趨于零了,但它們的比值是1,所以極限為1.
建議先去搞懂什么是極限.極限是一個(gè)可望不可及的概念,可以很接近它,但永遠(yuǎn)到不了那個(gè)岸.
并且要認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)是一個(gè)比值.
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關(guān)于求切線這是一位老師總結(jié)的：切點(diǎn)在曲線上,切點(diǎn)在切線上,曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即切線的斜率,沒(méi)有切點(diǎn)就設(shè)切點(diǎn).