對於前兩問, 我曾在以下網(wǎng)頁回答過,不過由於參數(shù)不同,我就順便改一下,且加上統(tǒng)一回答, 如下: (注意:第三問, 是新回答的.)
http://zhidao.baidu.com/question/215234264.html
http://zhidao.baidu.com/question/214257524.html
1. 已知:圓的方程為:(x - a)² + (y - b)² = r²,圓上一點P(x0, y0)
解:圓心C(a,b)
直線CP的斜率:k1 = (y0 - b) / (x0 - a)
因為直線CP與切線垂直, 所以切線的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b)
根據(jù)點斜式, 求得切線方程：
y - y0 = k2 (x - x0)
y - y0 =[- (x0 - a) / (y0 - b)](x - x0)
整理得:(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (注意:這式也是很好用的切線方程公式)
展開后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0² - y0² = 0 ~ (1)
因為點P在圓上, 所以它的坐標(biāo)滿足方程:
(x0 - a)² + (y0 - b)² = r²
化簡: x0² - 2ax0 + a² + y1² - 2by0 + b² = r²
移項: - x0² - y0² = -2ax0 - 2by0 + a² + b² - r² ~ (2)
由(2)代入(1), 得: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a² + b² - r²) = 0
化簡, (x0x - ax - ax0 + a²) + (y0y - yb - by0 + b²) = r²
整理, (x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r²
類似地, 對於圓的一般方程:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 過圓上的點的切線方程.
2. 已知:圓的方程為:x² + y² + Dx + Ey + F = 0,圓上一點P(x0, y0)
解:圓心C( -D/2,-E/2 )
直線CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2)
因為直線CP與切線垂直, 所以切線的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2)
根據(jù)點斜式, 求得切線方程：
y - y0 = k2 (x - x0)
y - y0 =[- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)](x - x0)
整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x0² - y0² = 0 ~ (3)
因為點P在圓上, 所以它的坐標(biāo)滿足方程:
x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F = 0
移項: - x0² - y0² = Dx0 + Ey0 + F ~ (4)
由(4)代入(3), 得: x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 +Dx0 + Ey0 + F = 0
整理, x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E(y + y0)/2 + F = 0
3a.已知:圓的方程為:(x - a)² + (y - b)² = r² ,圓外一點P(x0, y0)
解: 圓心C(a,b),設(shè)切點為M
則切線長PM = √ (CP² - MC²)(根據(jù)勾股定理)
= √ [(x0 - a)² + (y0 - b)² - r²] (CP:兩點間距離公式求得,MC:半徑長)
類似地, 對於圓的一般方程:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 過圓外的點的切線長.
3b.已知:圓的方程為:x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ,圓外一點P(x0, y0)
解: 圓心C( -D/2,-E/2 ),設(shè)切點為M
則切線長PM = √ (CP² - MC²)(根據(jù)勾股定理)
= √ [ (x0 + D/2)² + (y0 + E/2)² - ((√(D²+E²-4F))/2)² ]
(半徑:r=(√(D²+E²-4F)) / 2)
= √ (x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F)