A的正,負慣性指數(shù)分別為2和1
于是存在4階可逆矩陣C和對角矩陣B滿足
A=C'BC,B的對角線上元素依次為1,1,-1,0
令Y=CX
則X'AX=0等價于Y'BY=0
也就是y1^2 + y2^2 - y3^2 = 0
(1)令Y1=(0,1,-1,0)',Y2=(0,0,0,1)'
X1=C^(-1)Y1,X2=C^(-1)Y2
U是X1,X2張成的子空間,顯然U是2維的
而且容易驗證U滿足X'AX=0
(2)令Y1=(0,1,-1,0)',Y2=(0,1,1,0)'
X1=C^(-1)Y1,X2=C^(-1)Y2
顯然X1,X2滿足X'AX=0,但X1+X2不滿足
(3)X'AAX=0等價于(AX)'AX=0等價于AX=0
是R(4)的(三維)子空間