?翻看了以前的教材以及到網(wǎng)上查閱了大量相關(guān)資料,原來,不僅僅是統(tǒng)計(jì)學(xué)里有自由度的概念呀!下面把有關(guān)自由度的問題點(diǎn)簡(jiǎn)要?dú)w納一下.
?理論力學(xué)：確定物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱作物體的自由度,當(dāng)物體受到某些限制時(shí)——自由度減少.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間自由運(yùn)動(dòng),它的位置由三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)就可以確定,所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有三個(gè)自由度.假如將質(zhì)點(diǎn)限制在一個(gè)平面或一個(gè)曲面上運(yùn)動(dòng),它有兩個(gè)自由度.假如將質(zhì)點(diǎn)限制在一條直線或一條曲線上運(yùn)動(dòng),它只有一個(gè)自由度.剛體在空間的運(yùn)動(dòng)既有平動(dòng)也有轉(zhuǎn)動(dòng),其自由度有六個(gè),即三個(gè)平動(dòng)自由度x、y、z和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度a、b、q.如果剛體運(yùn)動(dòng)存在某些限制條件,自由度會(huì)相應(yīng)減少.
?熱力學(xué)中：分子運(yùn)動(dòng)自由度就是決定一個(gè)分子在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目.
?統(tǒng)計(jì)學(xué)中：在統(tǒng)計(jì)模型中,自由度指樣本中可以自由變動(dòng)的變量的個(gè)數(shù),當(dāng)有約束條件時(shí),自由度減少自由度計(jì)算公式：自由度=樣本個(gè)數(shù)-樣本數(shù)據(jù)受約束條件的個(gè)數(shù),即df = n - k（df自由度,n樣本個(gè)數(shù),k約束條件個(gè)數(shù)）
?一般總體方差(sigma^2),其實(shí)它是衡量所有數(shù)據(jù)對(duì)于中心位置（總體平均）平均差異的概念,所以也稱為離散程度,通常表示為sum(Xi-Xbar)^1/2/N ,（有多少個(gè)數(shù)據(jù)就除多少）而樣本方差(S^2),則是利用樣本數(shù)據(jù)所計(jì)算出來估計(jì)總體變異用的（樣本統(tǒng)計(jì)量的基本目的：少量資料估計(jì)總體）.一般習(xí)慣上,總體怎么算,樣本就怎么算,可是在統(tǒng)計(jì)上估計(jì)量（或叫樣本統(tǒng)計(jì)量）必須符合一個(gè)特性--無偏性,也就是估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望值要等于被估計(jì)的總體參數(shù)= E(S^2)=sigma^2（無偏估計(jì)）.很不幸的,樣本變異數(shù)E(S^2)并不會(huì)等于sigma^2所以必須做修正,而修正后即為sum(Xi-Xbar)^2/(N-1).才會(huì)繼續(xù)帶出后來的自由度概念.（自由度是由修正樣本統(tǒng)計(jì)量得來的嗎?）
?網(wǎng)上一些文獻(xiàn)的說法也是林林總總.
?金志成實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)書中的定義：能獨(dú)立變化的數(shù)據(jù)數(shù)目.只要有n-1個(gè)數(shù)確定,第n個(gè)值就確定了,它不能自由變化.所以自由度就是n-1.自由度表示的是一組數(shù)據(jù)可以自由表化的數(shù)量的多少.
?通俗點(diǎn)說,一個(gè)班上有50個(gè)人,我們知道他們語文成績(jī)平均分為80,現(xiàn)在只需要知道49個(gè)人的成績(jī)就能推斷出剩下那個(gè)人的成績(jī).你可以隨便報(bào)出49個(gè)人的成績(jī),但是最后一個(gè)人的你不能瞎說,因?yàn)槠骄忠呀?jīng)固定下來了,自由度少一個(gè)了.
?自由度的設(shè)定是出于這樣一個(gè)理由：在總體平均數(shù)未知時(shí),用樣本平均數(shù)去計(jì)算離差（常用小s）會(huì)受到一個(gè)限制————要計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差（小s）就必須先知道樣本平均數(shù),而樣本平均數(shù)和n都知道的情況下,數(shù)據(jù)的總和就是一個(gè)常數(shù)了.所以,“最后一個(gè)”樣本數(shù)據(jù)就不可以變了,因?yàn)樗亲?總和就變了,而這是不允許的.至于有的自由度是n－2什么的,都是同樣道理.
?n-1是通常的計(jì)算方法,更準(zhǔn)確的講應(yīng)該是n-k,n表示“處理”的數(shù)量,k表示實(shí)際需要計(jì)算的參數(shù)的數(shù)量.如需要計(jì)算2個(gè)參數(shù),則數(shù)據(jù)里只有n-2個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變化.例如,一組數(shù)據(jù),平均數(shù)一定,則這組數(shù)據(jù)有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變化；如一組數(shù)據(jù)平均數(shù)一定,標(biāo)準(zhǔn)差也一定,則有n-2個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變化.df=n-k的得出是需要大量的數(shù)理統(tǒng)計(jì)的證明的.太復(fù)雜的情況,我們就不討論了.