關于放縮法的一道題目（高中數(shù)學）

關于放縮法的一道題目（高中數(shù)學）
已知數(shù)列｛an｝的首項a1=3/5,a（n+1）=3an/2an+1,n=1,2,3.,
（1）求an的通項公式；
（2）證明；對任意的x＞0,an≥1/1+x-1/（1+x）²[（2/3^n）-x],n=1,2,...；
（3）證明；a1+a2+...+an＞n²/n+1
第一問的通項公式是an=3^n/3^n+2
第二問我也懂了
第三問的證明是對任意的x＞0,有
a1+a2+a3+.+an≥1/（1+x）-1/（1+x）²（2/3-X）+1/（1+x）-1/（1+x）²（2/3²-X）+...+1/（1+x）-1/（1+x）²（2/3^n-X）=n/（1+x）-1/（x+1）²（2/3+2/3²+.+2/3^n-nx）
當x=1/n（2/3+2/3²+.+2/3^n）?
這個當x=1/n（2/3+2/3²+.+2/3^n）是什么意思?怎么會這樣做了?

數(shù)學人氣：776 ℃時間：2020-06-06 01:42:15

優(yōu)質解答

因為前面已經(jīng)證明了對于任意的x＞0,不等式an≥1/1+x-1/（1+x）²[（2/3^n）-x]成立,
請注意“對于任意的x>0",此話的意思就是我們可以在x>0的前提下進行假設,比如你可以假設x=1,也可以設x=2,但從此題的情況來看,設x=(2/3+2/3²+.+2/3^n)/n >0可以使不等式的計算來得更簡便些,因為x=(2/3+2/3²+.+2/3^n)/n,則nx=2/3+2/3²+.+2/3^n,那么右邊不等式的第二項就等于0
這時不等式就變成
a1+a2+a3+.+an≥n/(1+x)
=n/[1+(2/3+2/3²+.+2/3^n)/n]
=n^2/[n+2/3(1-1/3^n)/(1-1/3)]
=n^2/(n+1-1/3^n)
>n^2/(n+1)
因為1/3^n>0
所以n^2/(n+1-1/3^n)>n^2/(n+1),

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