在初中書上好像認定0不是自然數(shù) 所以
N屬于Z Z屬于Q Q屬于R
整數(shù)用Z
自然數(shù)用N
實數(shù)用R 包括無理數(shù)
正整數(shù)用N+ 或N*
負整數(shù)用N-
有理數(shù)用Q
0有多種定義,這里只舉最為常見的幾種.（樓上列舉了許多是0的性質(zhì),但一般不作為定義）
一、自然數(shù)0的定義及其擴充.
1、根據(jù)皮亞諾（Peano）自然數(shù)公理體系,0就是自然數(shù)中首先出現(xiàn)的數(shù).皮亞諾公理1就是：0屬于自然數(shù)集.
2、自然數(shù)集的定義也可以以1為首先出現(xiàn)的自然數(shù),那么公理1成為：1屬于自然數(shù)集.這時0并不屬于自然數(shù)集.相應地,0是作為自然數(shù)的擴充出現(xiàn)的.可以定義“擴大了的自然數(shù)集”,即定義0是任何兩個相等自然數(shù)的差（當然先已經(jīng)定義了減法）,也可以用后面代數(shù)學中0的一般定義,將0并入這個擴大了的自然數(shù)集中.
3、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)中的0,都來源于自然數(shù)集中的0.在數(shù)集的擴張理論中,較小的數(shù)集都是以較大數(shù)集的序?qū)蛐蛄械囊粋€等價類的形式嵌入較大數(shù)集的.比如把任意兩個相同自然數(shù)的序?qū)Φ牡葍r類定義為整數(shù)（涵義就是這兩個自然數(shù)的差）,其中兩個相同的自然數(shù)構成的序?qū)Φ牡葍r類就是0.
4、在皮亞諾公理中,只是抽象地定義了自然數(shù).也可以用構造的方法構成集合論中的自然數(shù).這樣,自然數(shù)0被等同于空集,而1就是{空集},2就是{空集,{空集}},等等.
二、一般代數(shù)理論中的0.
在一般代數(shù)結(jié)構中,如果定義了加法運算（一般加法是可交換的）,那么則定義0就是滿足集中任何元素與之相加都仍得該元素性質(zhì)的元素（也就是x+0=x這一性質(zhì)）.如任何一個域中都有0元素,實數(shù)域中的0也可以這樣定義.
如果一個代數(shù)結(jié)構沒有定義加法,只定義了乘法,有時也可以說滿足集中任何元素與之相乘都仍得0性質(zhì)的元素（也就是0*x=0或x*0=0）.由于這里乘法沒有交換律,所以有“左0元”和“右0元”之分.如數(shù)域K上N階方陣關于乘法構成一個群,就可以說它有左、右0元.
順變提一下,布爾（Boolean）代數(shù)中0是另一種符號,遵循的又是邏輯運算的法則了.
附：皮亞諾自然數(shù)公理（也就是自然數(shù)的公理化定義）
PA1：零是個自然數(shù).
PA2：每個自然數(shù)都有一個后繼（也是個自然數(shù)）.
PA3：零不是任何自然數(shù)的后繼.
PA4：不同的自然數(shù)有不同的后繼.
PA5：（歸納公理）設由自然數(shù)組成的某個集含有零,且每當該集含有某個自然數(shù)時便也同時含有這個數(shù)的后繼,那么該集定含有全部自然數(shù).
參考資料：汪芳庭,數(shù)學基礎.潘承洞,潘承彪,初等數(shù)論.藍以中,高等代數(shù)簡明教程,抽象代數(shù)復明教程.范德瓦爾登,代數(shù)學