含字母系數(shù)的一元一次方程

教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生理解和掌握含有字母系數(shù)的一元一次方程及其解法；
2.理解公式變形的意義并掌握公式變形的方法；
3.提高學(xué)生的運(yùn)算和推理能力.
教育重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：含有字母系數(shù)的一元一次方程和解法.
難點(diǎn)：字母系數(shù)的條件的運(yùn)用和公式變形.
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
一、導(dǎo)入新課
問：什么叫方程?什么叫一元一次方程?
答：含有未知數(shù)的等式叫做方程,含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程叫做一元一次方程.
例 解方程2x－1 3－10x+1 6=2x+1 4－1
解 去分母,方程兩邊都乘以12,得
4(2x－1)－2(10x+1)=3(2x+1)－12,
去括號(hào),得
8x－4－20x－2=6x+3-12
移項(xiàng),得
8x－20x－6x=3-12+4+2,
合并同類項(xiàng),得
－18x=－3,
方程兩邊都除以－18,得
x=3 18 ,即 x=1 6.
二、新課
1.含字母系數(shù)的一元一次方程的解法.
我們把一元一次方程用一般的形式表示為
ax=b (a≠0),
其中x表示未知數(shù),a和b是用字母表示的已知數(shù),對(duì)未知數(shù)x來說,字母a是x的系數(shù),叫做字母系數(shù),字母b是常數(shù)項(xiàng).
如果一元一次方程中的系數(shù)用字母來表示,那么這個(gè)方程就叫做含有字母系數(shù)的一元一
次方程.
以后如果沒有特別說明,在含有字母系數(shù)的方程中,一般用a,b,c等表示已知數(shù),用x,y,z等表示未知數(shù).
含字母系數(shù)的一元一次方程的解法與只含有數(shù)字系數(shù)的一元一次方程的解法相同.按照解
一元一次方程的步驟,最后轉(zhuǎn)化為ax=b(a≠0)的形式.這里應(yīng)注意的是,用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊,這個(gè)式子的值不能等于零.如(m－2)x=3,必須當(dāng)m－2≠0時(shí),即m≠2時(shí),才有x=3 m－2 .這是含有字母系數(shù)的方程和只含有數(shù)字系數(shù)的方程的重要區(qū)別.
例1 解方程ax+b2=bx+a2(a≠b).
分析：這個(gè)方程中的字母a,b都是已知數(shù),x是未知數(shù),是一個(gè)含有字母系數(shù)的一元一次方程.這里給出的條件a≠b,是使方程有解的關(guān)鍵,在解方程的過程中要運(yùn)用這個(gè)條件.
解 移項(xiàng),得
ax－bx=a2－b2,
合并同類項(xiàng),得
(a－b)x=a2－b2.
因?yàn)閍≠b,所以a－b≠0.方程兩邊都除以a－b,得
x=a2－b2 a－b=(a+b)(a－b) a－b,
所以 x=a+b.
指出：
(1)題中給出a≠b,在解方程過程中,保證了用不等于零的式子a－b去除方程的兩邊后所得的方程的解是原方程的解；
(2)如果方程的解是分式形式時(shí),一般要化成最簡(jiǎn)分式或整式.
例2 x－b a=2－x－a b(a+b≠0).
觀察方程結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),請(qǐng)說出解方程的思路.
答：這個(gè)方程中含有分式,可先去分母,把方程轉(zhuǎn)化成含有字母系數(shù)的一元一次方程
的一般形式.在方程變形中,要應(yīng)用已知條件a+b≠0.
解 去分母,方程兩邊都乘以ab得
b(x－b)=2ab－a(x－a),
去括號(hào),得
bx－b2=2ab－ax+a2,
移項(xiàng),得
ax+bx=a2+2ab+b2
合并同類項(xiàng),得
(a+b)x=(a+b)2.
因?yàn)閍+b≠0,所以x=a+b.
指出：ab≠0是一個(gè)隱含條件,這是因?yàn)樽帜竌,b分別是方程中的兩個(gè)分式的分母,因此a≠0,b≠0,所以ab≠0.
例3 解關(guān)于x的方程
a2+(x－1)ax+3a=6x+2(a≠2,a≠－3).
解 把方程變形為,得
a2x－a2+ax+3a=6x+2,
移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得
a2x+ax－6x=a2－3a+2,
(a2+a－6)x=a2－3a+2,
(a+3)(a－2)x=(a－1)(a－2).
因?yàn)閍≠2,a=－3,所以a+3≠0,a－2≠0.方程兩邊都除以(a+3)(a－2),得
x=a－1 a+3.
2.公式變形.
在物理課中我們學(xué)習(xí)了很多物理公式,如果q表示燃燒值,m表示燃料的質(zhì)量,那么完全燃燒這些燃料產(chǎn)生的熱量W,三者之間的關(guān)系為W=qm,又如,用Q表示通過異體橫截面的電量,用t表示時(shí)間,用I表示通過導(dǎo)體電流的大小,三者之間的關(guān)系為I=Qt.在這個(gè)公式中,如果用I和t來表示Q,也就是已知I和t,求Q,就得到Q=It；如果用I和Q來表示t,也就是已知I和Q,求t,就得到t=QI.
像上面這樣,把一個(gè)公式從一種形式變換成另一種形式,叫做公式變形.
把公式中的某一個(gè)字母作為未知量,其它的字母作為已知量,求未知量,就是解含字母
系數(shù)數(shù)的方程.也就是說,公式變形實(shí)際就是解含有字母系數(shù)的方程.公式變形不但在數(shù)學(xué),而且在物理和化學(xué)等學(xué)科中非常重要,我們要熟練掌握公式變形的技能.
例4 在公式υ=υo+at中,已知υ,υo,a,且a≠0,求t.
分析：已知υ,υo和a,求t,也就是把υ,υo和a作為已知量,解關(guān)于未知量t的字母系數(shù)的方程.
解 移項(xiàng),得
υ－υ0=at.
因?yàn)閍≠0,方程兩邊都除以a,得
t=υ－υo a.
例5 在梯形面積公式s=12(a+b)h中,已知a,b,h為正數(shù).
(1)用s,a,b表示h；(2)用S,b,h表示a.
問：(1)和(2)中哪些是已知量?哪些是未知量；
答：（1）中S,a,b是已知量,h是未知量;(2)中s,b,h都是知已量,a是未知量.
解 (1)方程兩邊都乘以2,得
2s=(a+b)h.
因?yàn)閍與b都是正數(shù),所以a≠0,b≠0,即a+b≠0,方程兩邊都除以a+b,得
h=2sa+b.
(2)方程兩邊都乘以2,得
2s=(a+b)h,
整理,得
ah=2s－bh.
因?yàn)閔為正數(shù),所以h≠0,方程兩邊都除以h,得
a=2s－bh h.
指出：題是解關(guān)于h的方程,(a+b)可看作是未知量h的系數(shù),在運(yùn)算中(a+b)h不要展開.
三、課堂練習(xí)
1.解下列關(guān)于x的方程：
(1)3a+4x=7x－5b;(2)xa－b=xb－a(a≠b)；
(3)m2(x－n)=n2(x－m)(m2≠n2);
(4)ab+xa=xb－ba(a≠b);
(5)a2x+2=a(x+2)(a≠0,a≠1).
2.填空：
(1)已知y=rx+b r≠0,則x=_______;
(2)已知F=ma,a≠0,則m=_________;
(3)已知ax+by=c,a≠0,則x=_______.
3.以下公式中的字母都不等于零.
(1)求出公式m=pn+2中的n;
(2)已知xa+1b=1m,求x；
(3)在公式S=a+b2h中,求a;
(4)在公式S=υot+12t2x中,求x.
答案：
1.(1)x=3a+5b 3；(2)x=ab;(3)x=mn m+n;(4)x=a2+b2 a－b(5)x=2a.
2.(1)x=y－b r；(2)m=Fa;(3)x=c－by a.
3.(1)n=p－2m m;(2)x=ab－am bm;(3)a=2s－bh h;
(4)x=2s－2υott2.
四、小結(jié)
1.含字母系數(shù)的一元一次方程與只含有數(shù)字系數(shù)的一元一次方程的解法相同,但應(yīng)特別注意,用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊時(shí),這個(gè)式子的值不能為零.我們所舉的例題及課堂練習(xí)的題目中所給出的條件,都保證了這一點(diǎn).
2.對(duì)于公式變形,首先要弄清公式中哪些是已知量,哪個(gè)是未知量.把已知量作為字
母系數(shù),求未知量的過程就是解關(guān)于字母系數(shù)的方程的過程.
五、作業(yè)
1．解下列關(guān)于x的方程
(1)(m2+n2)x=m2－n2+2mnx(m－n≠0)；
(2)(x－a)2－(x－b)2=2a2－2b2 (a－b≠0);
(3)x+xm=m(m≠－1);
(4)xb+b=xa+a(a≠b);
(5)m+nx m+n=a+bx a+b(mb≠na).
2.在公式M=D－d 2l中,所有的字母都不等于零.
(1)已知M,l ,d求D；(2)已知M,l D,求d.
3.在公式S=12n[a1+(n－1)d]中,所有的字母都是正數(shù),而且n為大于1的整數(shù),求d.
答案：
1.(1)x=m+n m－n;(2)x=－a+b 2;(3)x=m2 m+1;(4)x=ab;(5)x=1.
2.(1)D=2lM+d;(2)d=D－2lM.
3.d=2S－na1 n(n－1).
課堂數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)說明
1.學(xué)生對(duì)含有字母系數(shù)的方程的認(rèn)識(shí)和解法以及公式變形,接受起來有一定困難.含字
母系數(shù)的方程與只含數(shù)字系數(shù)的方程的關(guān)系,是一般與特殊的關(guān)系,當(dāng)含有字母系數(shù)的方程
中的字母給出特定的數(shù)字時(shí),就是只含數(shù)字系數(shù)的方程.所以在教學(xué)設(shè)計(jì)中是從復(fù)習(xí)解只含
數(shù)字系數(shù)的一元一次方程入手,過渡到討論含字母系數(shù)的一元一次方程的解法和公式變形,
體現(xiàn)了遵循學(xué)生從具體到抽象,從特殊到一般的思維方式和認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律.
2.在代數(shù)教學(xué)中應(yīng)注意滲透推理因素.在解含有字母系數(shù)的一元一次方程和公式變形的過程中,引導(dǎo)學(xué)生注意所給題中的已知條件是什么,在方程變形中要正確運(yùn)用題中的已知條件.如在解方程中,常用含有字母的式子乘(或除)方程的兩邊,并要論述如何根據(jù)已知條件,保證這個(gè)式子的值不等于零,從中有意識(shí)地訓(xùn)練和提高學(xué)生的邏輯推理能力,把代數(shù)運(yùn)算和推理蜜切結(jié)合.