一樓的軌跡是拋物線中最節(jié)約時間的,但還有更節(jié)約時間的軌道!這是著名的最速降線問題.
兩種方法可以來解決：
一、將其等效為光在折射率豎直方向連續(xù)變化的介質(zhì)中傳播軌跡.根據(jù)費(fèi)馬定理,利用較初等的微積分就能解決.
二、變分法.此方法是純數(shù)學(xué)的,較難.我不詳述.
結(jié)果軌跡是一條旋輪線.方程為
x=a(Θ-sinΘ) y=a(1-cosΘ)
a為常數(shù)Θ為參數(shù)
附第一種方法提示：
設(shè)A.B點(diǎn)水平距為L,A比B高H.B點(diǎn)處速度與豎直方向夾角為b,由折射定律,任意一點(diǎn)均有：
sinΘ=(h/H)?*sinb
同時平方后將Θ用h關(guān)于x的倒數(shù)代替,即得一微分方程,再積分即可.