已知l是過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)的平面AB1D1與下底面ABCD所在平面的交線．（1）求證：D1B1∥l；（2）若AB=a，求l與D1間的距離．

已知l是過(guò)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)的平面AB₁D₁與下底面ABCD所在平面的交線．

（1）求證：D₁B₁∥l；
（2）若AB=a，求l與D₁間的距離．

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優(yōu)質(zhì)解答

（1）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁B₁∥BD，
∵BD?平面ABCD，D₁B₁?平面ABCD
∴D₁B₁∥平面ABCD．
又∵平面ABCD∩平面AD₁B₁=l，
∴D₁B₁∥l．
（2）在平面ABCD內(nèi)，由D作DG⊥l于G，連接D₁G，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，得 D₁D⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥l，∵D₁D∩DG=D，∴l(xiāng)⊥平面D₁DG
∴D₁G⊥l，即D₁G的長(zhǎng)即等于點(diǎn)D₁與l間的距離．
∵l∥D₁B₁∥BD，∴∠DAG=45°．
∴DG=

a，在直角三角形D₁DG中，
則有 D₁G=

DG2+D1D2

a2+a2

a．

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