有兩種解釋：
第一：（簡單解釋）
假設(shè)位數(shù)最多的非無限循環(huán)有理數(shù)被寫出,我們在這個數(shù)的最后再加一位,這個數(shù)還是有限位有理數(shù),但位數(shù)比已寫出有理數(shù)多一位,證明原來寫出的不是位數(shù)最多的非無限循環(huán)有理數(shù).所以位數(shù)最多的非無限循環(huán)有理數(shù)是不可能被寫出的.
第二：（復(fù)雜解釋）
解決這個問題,首先運用分類的思想,排除公認的部分,只需說明其余部分即可.
一、有理數(shù)是整數(shù)和分數(shù)的總稱.
整數(shù),公認的當然不是無限小數(shù).
下面說明分數(shù),可以把它分為兩類.
第一類,約分后,分母只含有2或5的質(zhì)因數(shù),這類分數(shù)化為小數(shù)后,一定是有限小數(shù).理由如下：
（1）把分母分解質(zhì)因數(shù)后,如果因數(shù)2的個數(shù)和因數(shù)5的個數(shù)相同,那么,這時的分母是10n,用它去除分子,當然得到有限小數(shù),小數(shù)位有n位；
（2）把分母分解質(zhì)因數(shù)后,如果因數(shù)2的個數(shù)比因數(shù)5的個數(shù)多m個,就在分母和分子上都乘以5m,這時,分母又成為10n,還是化為了有限小數(shù)；
（3）把分母分解質(zhì)因數(shù)后,如果因數(shù)5的個數(shù)比因數(shù)2的個數(shù)多k個,就在分母和分子上都乘以2k,使得分母仍然成為10n,又化為了有限小數(shù).
第二類,約分后把分母分解質(zhì)因數(shù),質(zhì)因數(shù)中有2和5以外的質(zhì)數(shù).這時化成的小數(shù)一定是無限循環(huán)小數(shù).
理由分兩步來說明.
第一步,先說明化得的小數(shù)是無限的.
由于m÷(abc)=m÷a÷b÷c=m÷b÷c÷a=m÷c÷a÷b=…
于是可以先用分母中的質(zhì)因數(shù)2k、5t（k\t都是自然數(shù)）去除分子,得到了有限小數(shù).
這時,用一個2和5以外的質(zhì)因數(shù),例如“3”去除分子,由于分數(shù)是既約分數(shù)（意思是約分之后的分數(shù)）,則不可能整除而需要補“零”,但補“零”后,絕對不會商一個數(shù)后使它和“3”相乘以后的積的末位是“零”,（因為只有2和5相乘才得“零”）,這樣相減后余數(shù)不會是“零”,于是只好再補“零”,而此時,又是剛才的局面,所以,“零”要無盡無休地補下去,商也就無盡無休地商下去,商,也就是分數(shù)的值也要無盡無休地寫下去.即化得的小數(shù)是無限的.
第二步,說明化得的無限小數(shù)為什么是循環(huán)的.
它的原因是,開始補“零”后商哪個數(shù)字,是由上一次得到的眼前的余數(shù)決定的,如果逐次補“零”得到的一次次余數(shù)從某次開始循環(huán)起來了,那么,商也就開始循環(huán)了.
而余數(shù)只能在大于“0”并小于除數(shù)之間的自然數(shù)中間變化,這些自然數(shù)的個數(shù)是有限的,那么當然,做多（w-1）次以后,余數(shù)就要重復(fù)了,那么商也要和余數(shù)配合起來重復(fù),出現(xiàn)了循環(huán).（在這里用w代表作為除數(shù)的那個不是2和5的質(zhì)因數(shù)）.