如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示.
等差數(shù)列的通項公式為：
an=a1+(n-1)d (1)
前n項和公式為：
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
從(1)式可以看出,an是n的一次數(shù)函(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0),(n,an)排在一條直線上,由(2)式知,Sn是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0,a1≠0),且常數(shù)項為0.
在等差數(shù)列中,等差中項：一般設為Ar,Am+An=2Ar,所以Ar為Am,An的等差中項.
且任意兩項am,an的關系為：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式.
從等差數(shù)列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差數(shù)列,等等.
和＝（首項＋末項）*項數(shù)÷2
項數(shù)＝（末項-首項）÷公差＋1
首項=2和÷項數(shù)-末項
末項=2和÷項數(shù)-首項
項數(shù)=(末項－首項）/公差＋1
如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù),這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列(geometric progression).這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示(q≠0).注：q=1時,an為常數(shù)列.　?。?）等比數(shù)列的通項公式是：An=A1*q^（n－1）
等比數(shù)列通式
若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q>0時,則可把an看作自變量n的函數(shù),點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點.　?。?）求和公式：Sn=nA1(q=1) 　　Sn=A1(1-q^n)/(1-q) 　　=(a1-a1q^n)/(1-q) 　　=(a1-an*q)/(1-q) 　　=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
等比數(shù)列求和公式
(前提：q≠ 1) 　　任意兩項am,an的關系為an=am·q^(n-m)；在運用等比數(shù)列的前n相和時,一定要注意討論公比q是否為1.　　（3）從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} 　?。?）等比中項：aq·ap=ar^2,ar則為ap,aq等比中項.　　記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 　　另外,一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)后構成一個等差數(shù)列；反之,以任一個正數(shù)C為底,用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構造冪Can,則是等比數(shù)列.在這個意義下,我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構”的.　　等比中項定義：從第二項起,每一項（有窮數(shù)列和末項除外）都是它的前一項與后一項的等比中 項.　　等比中項公式：An/An-1=An+1/An或者(An-1)(An+1)=An^2 　　（5）無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式：　　無窮遞縮等比數(shù)列各項和公式：公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列,當n無限增大時的極限叫做這個無窮等比數(shù)列各項的和.　　(6)由等比數(shù)列組成的新的等比數(shù)列的公比：　　{an}是公比為q的等比數(shù)列 　　1.若A=a1+a2+……+an 　　B=an+1+……+a2n 　　C=a2n+1+……a3n 　　則,A、B、C構成新的等比數(shù)列,公比Q=q^n 　　2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2 　　B=a2+a5+a8+……+a3n-1 　　C=a3+a6+a9+……+a3n 　　則,A、B、C構成新的等比數(shù)列,公比Q=q編輯本段性質
(1)若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am*an=ap*aq； 　　(2)在等比數(shù)列中,依次每 k項之和仍成等比數(shù)列.　　(3)“G是a、b的等比中項”“G^2=ab（G≠0）”.　　(4)若{an}是等比數(shù)列,公比為q1,{bn}也是等比數(shù)列,公比是q2,則 　　{a2n},{a3n}…是等比數(shù)列,公比為q1^2,q1^3… 　　{can},c是常數(shù),{an*bn},{an/bn}是等比數(shù)列,公比為q1,q1q2,q1/q2.　　（5）等比數(shù)列中,連續(xù)的,等長的,間隔相等的片段和為等比.　?。?）若（an）為等比數(shù)列且各項為正,公比為q,則（log以a為底an的對數(shù)）成等差,公差為log以a為底q的對數(shù).　　(7) 等比數(shù)列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) 　　(8) 數(shù)列{An}是等比數(shù)列,An=pn+q,則An+K=pn+K也是等比數(shù)列,　　在等比數(shù)列中,首項A1與公比q都不為零.　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方.　　(9)由于首項為a1,公比為q的等比數(shù)列的通向公式可以寫成an*q/a1=q^n,它的指數(shù)函數(shù)y=a^x有著密切的聯(lián)系,從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質來研究等比數(shù)列.編輯本段求通項公式的方法
（1）待定系數(shù)法：已知a（n+1）=2an+3,a1=1,求an 　　構造等比數(shù)列a（n+1）+x=2（an+x） 　　a（n+1）=2an+x,∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3 　　所以（a（n+1）+3）/（an+3）=2 　　∴{an+3}為首項為4,公比為2的等比數(shù)列,所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3