(1) 令-(X-m)²+1=o得：
X=m+1 或 m-1.
此時A與B 的距離為：(m+1)-(m-1)=2.
以AB當?shù)?面積為3,則點C到原點的距離應為3.由y=-(x-m)²+1
=-x²+2mx-m²+1得:
c=1-m²
則有 1-m²=3或-3.（+3舍去）
m²=4 此時對稱軸在Y軸右方 ,故m=2.
m+1=3 m-1=1
則A和B坐標分別為：A(1,0) B(3,0) .
(2) 存在,m=2.理由：
B在原點右邊、C在原點下邊,則對稱軸必在Y軸右邊（m大于零）.此時B(m+1,0),C(0,1-m²).若BOC等腰,則需OB=OC,即 m+1=-(1-m²).（無其他情形）.
解得 m=2,m=-1(舍去)
（3）X軸上存在四個N點,使得三角形MHN與三角形AOC相似.
在（1）前提下,m=2,拋物線為:
y=-(x-2)²+1,頂點坐標為M(2,1),
易知C(0,-3),H(2,0).MH=1.
直角三角形AOC中,直角邊AO=1,OC=3.
兩直角邊之比為3比1.
若滿足相似,已知MH=1,必須有HN=1/3 或HN=3.故N點坐標為：(-1,0)或(5,0)或(5/3,0)或(7/3,0).