證明這三個命題之前,首先可以確認(rèn),
a^b*a^c=a^(b+c)
(a^b)^c=a^(bc)
在b,c是整數(shù)時成立
(a*b)^c=a^c*b^c在c為整數(shù)時成立
證明和a是整數(shù)是完全一樣,不再贅述
1.
由b,c有理數(shù),設(shè)b=u/v,c=x/y,(u,v)=1,(x,y)=1
a^b*a^c=a(u/v)*a(x/y)
設(shè)s=a(u/v),t=a(x/y)
s^v=a^u,t^y=a^x
s^vy=a^uy,t^vy=a^xv
所以s^vy*t^vy=(st)^vy=a^uy*a^vx=a^(uy+vx)
st=a^((uy+vx)/vy)=a^(u/v+x/y)=a^(b+c)
得證
2.
設(shè)b=u/v,c=x/y,(u,v)=1,(x,y)=1
(a^b)^c=(a^(u/v))^(x/y)設(shè)為t
t^y=(a^(u/v)^x
設(shè)s=(a^(u/v))
那么s^v=a^u
s^vx=a^ux=(s^x)^v=(t^y)^v=t^(yv)
所以t=a^(ux/yv)=a^(bc),得證
3.
設(shè)c=x/y,(x,y)=1
設(shè)(ab)^c=t
(ab)^(x/y)=t
(ab)^x=t^y=a^x*b^x
當(dāng)m,n是有理數(shù),y是整數(shù)時,(mn)^(1/y)=m^(1/y)*n^(1/y)仍成立
因左邊^(qū)y=mn,右邊^(qū)y=(m^(1/y)^y)*(n^(1/y))^y=mn
所以t=(a^x*b^x)^(1/y)=(a^x)^(1/y)*(b^x)^(1/y)=a^(x/y)*^b(x/y)=a^c*b^c
所以(ab)^c=a^c*b^c,得證