美國麻州的克雷(Clay)數(shù)學研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事:對七個“千僖年數(shù)學難題”的每一個懸賞一百萬美元.以下是這七個難題的簡單介紹.
“千 僖難題”之一:P(多項式算法)問題對NP(非多項式算法)問題 在一個周六的晚上,你參加了一個盛大的晚會.由于感到局促不安,你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認識的人.你的主人向你提議說,你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲.不費一秒鐘,你就能向那里掃視,并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的.然而,如果沒有這樣的暗示,你就必須環(huán)顧整個大廳,一個個地審視每一個 人,看是否有你認識的人.生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多.這是這種一般現(xiàn)象的一個例子.與此類似的是,如果某人告訴你,數(shù) 13,717,421可以寫成兩個較小的數(shù)的乘積,你可能不知道是否應該相信他,但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803,那么你就可以用 一個袖珍計算器容易驗證這是對的.不管我們編寫程序是否靈巧,判定一個答案是可以很快利用內(nèi)部知識來驗證,還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解,被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一.它是斯蒂文·考克(StephenCook)于1971年陳述的.
“千僖難題”之 二: 霍奇(Hodge)猜想 二十世紀的數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法.基本想法是問在怎樣的程度上,我們可以把給定對象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成.這種技巧是變得如此有用,使得它可以用許多不同的方式來推廣;最終導至一些強有力的工具,使數(shù)學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對 象進行分類時取得巨大的進展.不幸的是,在這一推廣中,程序的幾何出發(fā)點變得模糊起來.在某種意義下,必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件.霍奇猜想斷言,對于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說,稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合.
“千 僖難題”之三: 龐加萊(Poincare)猜想如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶,那么我們可以既不扯斷它,也不讓它離開表面,使它慢慢移動收縮為一個點.另一方面,如果我們想象同樣的橡皮帶以適 當?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上,那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面,是沒有辦法把它收縮到一點的.我們說,蘋果表面是“單連通的”,而輪胎面不是.大約在一百年 以前,龐加萊已經(jīng)知道,二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫,他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題.這個問題立即變得無比困難,從那時起,數(shù)學家們就在為此奮斗.
“千僖難題”之四: 黎曼(Riemann)假設 有些數(shù)具有不能表示為兩個更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì),例如,2,3,5,7,等等.這樣的數(shù)稱為素數(shù);它們在純數(shù)學及其應用中都起著重要作用.在所有自然數(shù)中,這種素數(shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式;然而,德國數(shù)學家黎曼(1826~1866)觀察到,素數(shù)的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài).著名的黎曼假設斷言,方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上.這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過.證 明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數(shù)分布的許多奧秘帶來光明.
“千僖難題”之五: 楊-米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口 量子物理的定律是以經(jīng)典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的.大約半個世紀以前,楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn),量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數(shù)學之間的令人注目的關系.基于楊-米爾斯方程的預言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實:布羅克哈文、斯坦福、歐洲 粒子物理研究所和筑波.盡管如此,他們的既描述重粒子、又在數(shù)學上嚴格的方程沒有已知的解.特別是,被大多數(shù)物理學家所確認、并且在他們的對于 “夸克”的不可見性的解釋中應用的“質(zhì)量缺口”假設,從來沒有得到一個數(shù)學上令人滿意的證實.在這一問題上的進展需要在物理上和數(shù)學上兩方面引進根本上的 新觀念.
“千僖難題”之六: 納維葉-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性 起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機的飛行.數(shù)學家和物理學家深信,無論是微風還是湍流,都可以通過理解納維葉-斯托克斯方程的解,來對它們進行解釋和預言.雖然這些方程是19世紀寫下的,我們對它們的理解仍然極少.挑戰(zhàn)在于對數(shù)學理論作出實質(zhì)性的進展,使我們能解開隱藏在納維葉-斯托克斯方程中的奧秘.
“千僖難題”之七: 貝赫(Birch)和斯維訥通-戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想 數(shù)學家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷.歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答,但是對于更為復雜的方程,這就變得極為困難.事實上,正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,希爾伯特第十問題是不可解的,即,不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數(shù)解.當解是一個阿貝爾簇的點時,貝赫和斯維訥通-戴爾猜想認為,有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數(shù)z(s)在點s=1附近的性態(tài). 特別是,這個有趣的猜想認為,如果z(1)等于0,那么存在無限多個有理點(解),相反,如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個這樣的點.
八: 幾何尺規(guī)作圖問題 這里所說的“幾何尺規(guī)作圖問題”是指做圖限制只能用直尺、圓規(guī),而這里的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺.“幾何尺規(guī)作圖問題”包括以下四個問題1.化圓為方-求作一正方形使其面積等於一已知圓; 2.三等分任意角; 3.倍立方-求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍. 4.做正十七邊形.以上四個問題一直困擾數(shù)學家二千多年都不得其解,而實際上這前三大問題都已證明不可能用直尺圓規(guī)經(jīng)有限步驟可解決的.第四個問題是高斯用代數(shù)的方法解決 的,他也視此為生平得意之作,還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上,但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形,而是十七角星,因為負責刻碑的雕刻家認為,正十七邊形和圓太像了,大家一定分辨不出來.
九:哥德巴赫猜想 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當時的大數(shù)學家歐拉(Euler),提出了以下的猜想: (a) 任何一個>=6之偶數(shù),都可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和. (b) 任何一個>=9之奇數(shù),都可以表示成三個奇質(zhì)數(shù)之和. 從此,這道著名的數(shù)學難題引起了世界上成千上萬數(shù)學家的注意.200年過去了,沒有人證明它.哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”.
十: 四色猜想 1852年,畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時,發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象:“看來,每幅地圖都可以用四種顏色著色,使得有 共同邊界的國家著上不同的顏色.” 1872年,英國當時最著名的數(shù)學家凱利正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題,于是四色猜想成了世界數(shù)學界關注的問題.世界上許多一流的數(shù)學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn). 1976年,美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上,用了1200個小時,作了100億判斷,終于完成了四色定理的證明.四 色猜想的計算機證明,轟動了世界.
世界上十大數(shù)學難題?
世界上十大數(shù)學難題?
數(shù)學人氣:758 ℃時間:2020-07-24 03:10:38
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