（1）猜想：EF=BE+DF．理由如下：
將△ADF繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，易知點F′、B、E在一直線上．如圖1．
∵AF′=AF，
∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF，
又∵AE=AE，
∴△AF′E≌△AFE．
∴EF=F′E=BE+DF；
（2）由（1）得 EF=x+y
又 CF=1-y，EC=1-x，
∴（1-y）²+（1-x）²=（x+y）²．
化簡可得y=

1?x

1+x

（0＜x＜1）；
（3）①當點E在點B、C之間時，由（1）知   EF=BE+DF，故此時⊙E與⊙F外切；
②當點E在點C時，DF=0，⊙F不存在．
③當點E在BC延長線上時，將△ADF繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，圖2．
有  AF′=AF，∠1=∠2，BF′=FD，
∴∠F′AF=90°．
∴∠F′AE=∠EAF=45°．
又 AE=AE，
∴△AF′E≌△AFE．
∴EF=EF′=BE-BF′=BE-FD．
∴此時⊙E與⊙F內(nèi)切．
綜上所述，當點E在線段BC上時，⊙E與⊙F外切；當點E在BC延長線上時，⊙E與⊙F內(nèi)切；
（4）△EGF與△EFA能夠相似，只要當∠EFG=∠EAF=45°即可．
這時有 CF=CE．…（1分）
設(shè)BE=x，DF=y，由（3）有EF=x-y．
由 CE²+CF²=EF²，得（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²．
化簡可得  y=

x?1

x+1

（x＞1）．
又由 EC=FC，得x-1=1+y，即x-1=1+

x?1

x+1

，化簡得
x²-2x-1=0，解之得                  
x=1+

2

或x=1-

2

（不符題意，舍去）．
∴所求BE的長為1+

2

．