分析：利息=本金×利率×存期
本息=本金+利息
甲種債券利息×（1+乙種債券利率）×存期=108
設(shè)甲種債券的年利率為x,依題意,甲種債券的利息為1000x元,乙種債券的年利率為x-0.02,則
1000x(1+x-0.02)=108
整理得：250x2+245x-27=0
(10x-1)(25x+27)=0
x1=0.1 x2=-
∵x2=-不合題意,舍去
∴x=0.1=10%
答：甲種債券的年利率為10%.
例2．某電廠規(guī)定該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個(gè)月的用電量不超過A度,那么這個(gè)月這戶只需交10元用電費(fèi),如果超過A度,則這個(gè)月除了仍要交10元用電費(fèi)外,超過部分還要按每度元交費(fèi).
（1）該廠某戶居民2月份用電90度,超過了規(guī)定的A度,則超過部分應(yīng)該交電費(fèi)多少元（用A表示）
?。?）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況：
月份
用電量（度）
交電費(fèi)總數(shù)（元）
3月
80
25
4月
45
10
根據(jù)上表的數(shù)據(jù),求電廠規(guī)定A度為多少?
分析：本題是原于現(xiàn)實(shí)生活中的經(jīng)濟(jì)問題,情景熟悉,但問題有障礙,不能直接看出問題的答案,必須認(rèn)真閱讀和思考
問題（1）較簡(jiǎn)單,超過部分應(yīng)交電費(fèi)(90-A)元,問題（2）,從表中看到,45
整理得,A2-80A+1500=0
解得：A1=50 A2=30
但A2=30<45,不合題意舍去
∴A=5
解略.
例3．某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,為了擴(kuò)大銷售,增加盈利,盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2件.
若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?
設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元,
由題意可得：
(40-x)(20+2x)=1200
整理,得x2-30x+200=0
x1=10 x2=20
根據(jù)題意x=10不合題意,舍去
所以x=20
答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元.
說明：此題是一元二次方程在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用,利用已知條件,列方程,解方程都比較簡(jiǎn)單,但得出方程的根后,考查它們是否符合題意是個(gè)難點(diǎn),已知中有“盡快減少庫(kù)存”的要求,而每降低1元,則平均每天可售出2件,所以x=10,不合題意舍去.
例4．某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成,廠家需付甲、乙兩隊(duì)共8700元,乙、丙兩隊(duì)合做10天完成,廠家需付乙、丙兩隊(duì)共9500元,甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的,廠家需付甲、丙兩隊(duì)共5500元.
?。?）求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天?
?。?）若工期要求不超過15天完成全部工程,問可由哪隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少?請(qǐng)說明理由.
分析：此題是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的生產(chǎn)問題,這也是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的.
第一問是工程問題,工程問題中有三個(gè)量：工作總量,工作效率,工作時(shí)間,這三個(gè)量之間的關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間.
第二問只要求出每天應(yīng)各付甲、乙、丙各隊(duì)多少 錢,并由第一問求出甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作所需的天數(shù),即可求出在規(guī)定時(shí)間內(nèi)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程哪個(gè)隊(duì)花錢最少.
?。?）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做x天完成,乙隊(duì)單獨(dú)做y天完成,丙隊(duì)單獨(dú)做z天完成
由題意可得：
解這個(gè)方程組得：
經(jīng)檢驗(yàn)此解是所列方程組的解
答：甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成,乙隊(duì)單獨(dú)做15天完成,丙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.
?。?）設(shè)付給甲隊(duì)一天a元,付給乙隊(duì)一天b元,付給丙隊(duì)一天c元
解這個(gè)方程組得
又∵規(guī)定時(shí)間要求不超過15天
∴不能用丙隊(duì),
∵10a=8000（元） 15b=9750（元）
答：由甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢最少.
說明：數(shù)學(xué)教學(xué)新大綱中要求“能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”.能夠解決實(shí)際問題是指：能夠解決帶有實(shí)際意義和相關(guān)學(xué)科中的數(shù)學(xué)問題,以及解決生產(chǎn)和日常生活中的實(shí)際問題；能夠使用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題,展開交流,形成用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的意識(shí),以上四題就反映了新大綱要求,這種形式的問題頻繁出現(xiàn)在近兩年的中考試卷中,這應(yīng)引起我們的重視.
例5．A、B兩地間的路程為15千米,早晨6時(shí)整,甲從A地出發(fā)步行前往B地,20分鐘后,乙從B地出發(fā)騎車前往A地,乙到達(dá)A地后停留40分鐘,然后騎車按原路原速返回,結(jié)果甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)B地,如果乙騎車比甲步行每小時(shí)多走10千米,問幾點(diǎn)鐘甲,乙兩人同時(shí)到達(dá)B地?
分析：此題是行程問題,行程問題中有三個(gè)基本量：速度、時(shí)間、路程,并且路程=速度×?xí)r間.此題若間接設(shè)元,設(shè)甲步行每小時(shí)走x千米,乙騎自行車每小時(shí)走(x+10)千米,又已知AB兩地路程為15千米,則可利用甲乙所用的時(shí)間找等量關(guān)系.
設(shè)甲步行每小時(shí)走x千米,
則乙騎車每小時(shí)走(x+10)千米
由題意得：+1=
整理得：x2+25x-150=0
解這個(gè)方程得：x1=5,x2=-30
經(jīng)檢驗(yàn)：x1=5,x2=-30都是所列方程的根,
但x=-30不合題意舍去
∴x=5
這時(shí) 15÷5=3（小時(shí)）
答：上午9點(diǎn)整,甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)B地.
例6．甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā),經(jīng)過C地去B地,已知C、B相距180千米,出發(fā)時(shí),甲每小時(shí)比乙多行5千米,因此,乙經(jīng)過C地比甲晚半小時(shí),為趕上甲,乙從C地將車速每小時(shí)增加10千米,結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá)B,求兩車出發(fā)時(shí)速度?
分析：解決此題的關(guān)鍵是：從C地到B地,甲比乙多走半小時(shí).
設(shè)乙速為x千米/時(shí).
則甲速為(x+5)千米/時(shí)
- =
整理得：x2+15x-1750=0
解這個(gè)方程：x1=35, x2=-50
經(jīng)檢驗(yàn)：x1=35,x2=-50都是所列方程的根
但x=-50不合題意,舍去
∴x=35
∴x+5=35+5=40
答：甲出發(fā)時(shí)速度為40千米/時(shí),乙出發(fā)時(shí)速度為35千米/時(shí).
例7．甲乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)同向出發(fā),甲經(jīng)過B地后,再經(jīng)過3小時(shí)12分在C地追上乙,這時(shí)兩人所走的路程和為36千米,而A、C兩地的距離等于乙走5小時(shí)的路程,求A、B兩地的距離?
分析：此題間接設(shè)元比較方便,如可設(shè)甲、乙兩人速度分別為x千米/時(shí),y千米/時(shí),可以利用“兩人所走的路程和為36千米”及“甲從A到C所用的時(shí)間與乙從B到C所用的時(shí)間相等”這兩個(gè)等量關(guān)系建立方程組.
設(shè)甲速為x千米/時(shí),乙速為y千米/時(shí)
則AC長(zhǎng)5y千米,BC長(zhǎng)為 x千米（3小時(shí)12分=小時(shí)）
AB長(zhǎng)(5y-x)千米
由題意可得
解這個(gè)方程組得：
經(jīng)檢驗(yàn)它們都是所列方程組的解
又∵ 不合題意舍去
∴
∴ 5y-x=5×4- =4
答：A、B兩地長(zhǎng)4千米.
測(cè)試
A組選擇題（每小題20分）
1.某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元,第一季度總產(chǎn)值175億元,問二月、三月平均每月的增長(zhǎng)率是多少?設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率為x,根據(jù)題意得方程為
?。ˋ）50(1+x)2=175 （B）50+50(1+x)2=175
?。–）50(1+x)+50(1+x)2=175 （D）50+50(1+x)+50(1+x)2=175
2.甲、乙兩隊(duì)學(xué)生綠化校園,兩隊(duì)合作6天可以完成,若單獨(dú)工作,甲隊(duì)比乙隊(duì)少用五天,兩隊(duì)單獨(dú)工作,各需要多少天完成?
若設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)工作需要x天完成,則根據(jù)題意得到的方程是（ ）.
（A） =6 （B）=6 （C）6( )=1 （D）=1
B組選擇題（每小題30分）
1.某村有若干人準(zhǔn)備用平均集資的方法籌集數(shù)萬元開發(fā)小區(qū),消息傳出后,又有3位村民認(rèn)為開發(fā)項(xiàng)目對(duì)頭,申請(qǐng)參加,于是每人可少集資3000元；最后收款時(shí),又增加1人,再次使每人的平均集資數(shù)減少600元,問該村開始時(shí)有多少人集資?共集資多少元?
解如下：設(shè)最初集資人數(shù)為x,每人平均集資y元,依題意,列出方程組：
解法一：
解法二：由隱含著的“出入相補(bǔ)”原理,得方程組：
解法三：由隱含著的“出入相補(bǔ)”原理,得方程組：
以上有三種解法,其中錯(cuò)誤的是：
（A）解法一 （B）解法二 （C）解法三 （D）都正確.
2.甲、乙兩列車,分別從相距300千米的A、B兩車站同時(shí)相向出發(fā),相遇后,甲車再經(jīng)過4小時(shí)到B站,乙車再經(jīng)過9小時(shí)到A站,求甲、乙各車的速度.
解法一：設(shè)甲車的速度為x千米/小時(shí),乙車的速度為y千米/小時(shí),根據(jù)題意,得：
解法二：設(shè)甲車的速度為x千米/小時(shí),乙車的速度為y千米/小時(shí),
根據(jù)甲乙兩車相遇時(shí)間相等,而相遇后至停止相差9-4=5小時(shí),亦為全程時(shí)間差為5小時(shí),據(jù)此得方程：
解法三：間接設(shè)未知數(shù),設(shè)相遇時(shí),甲、乙各行了x小時(shí).
根據(jù)題設(shè)得方程：×4+ ×9=300
即 +=1,
得x2=36, x=±6 (-6不合題意,舍去.)
所以v甲==30（千米/小時(shí)）,
v乙==20（千米/小時(shí)）,
以上解法正確的有：
（A）一種 （B）兩種 （C）三種 （D）沒有正確解法.
答案與解析
A組答案：1、D 2、C B組答案：1、C 2、C
B組解析：
1、解題策略：一是按有關(guān)的幾個(gè)基本量列表,未知數(shù)用相應(yīng)的字母代替,可有助于理清題意,如：
集資人數(shù)
平均集資數(shù)
總額
開始時(shí)
x
y
z
第一次增人后
x+3
y-3000
z
第二次增人后
x+4
y-3000-600
z
二是根據(jù)出入相補(bǔ)原理：原來集資每人減少總額（出）,由新增集資人承擔(dān)（入）.
解法一：設(shè)最初集資人數(shù)為x,每人平均集資y元,依題意,列出方程組：
解之得：
所以 z=xy=54000（元）.
答：原來有6人集資,出集資5.4萬元.
解法二：由隱含著的“出入相補(bǔ)”原理,得方程組：
第三種解法錯(cuò)誤,注意題中“再次使每人的平均集資數(shù)減少600元”是指在減少3000元的基礎(chǔ)上再減少600元,實(shí)為減少3600元,不能理解為2400元.
2．解題策略：畫出分析圖,是解行程問題的有效辦法.
利用不同線條區(qū)分不同速度的運(yùn)動(dòng)體是個(gè)好辦法,便于弄清題目的條件.
解法一：設(shè)甲車的速度為x千米/小時(shí),乙車的速度為y千米/小時(shí),根據(jù)題意,得：
由(2)得 9y2=4x2,
3y=2x （因x,y 都是正的,故舍去負(fù)的）.
解得：
經(jīng)檢驗(yàn),這個(gè)解滿足題設(shè)要求.
答：甲車速度為30千米/小時(shí),乙車速度為20千米/小時(shí).
解法二：如上所述,根據(jù)甲乙兩車相遇時(shí)間相等,而相遇后至停止相差9-4=5小時(shí),亦為全程時(shí)間差為5小時(shí),據(jù)此得方程：
?。ㄒ韵侣裕?
解法三：間接設(shè)未知數(shù),設(shè)相遇時(shí),甲、乙各行了x小時(shí).
根據(jù)題設(shè)得方程：×4+ ×9=300
即 +=1,
得x2=36, x=±6 (-6不合題意,舍去.)
所以v甲==30（千米/小時(shí)）,
v乙==20（千米/小時(shí)）.
以上三種解法都正確.
列方程解應(yīng)用題
考點(diǎn)
1．會(huì)列出方程或方程組解應(yīng)用題.
2．通過列方程解應(yīng)用題,進(jìn)一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力.
考題評(píng)析
1．（廣州市）某商場(chǎng)銷售商品收入款,3月份為25萬元,5月份為36萬元,該商場(chǎng)這兩個(gè)月銷售商品收入款平均每月增長(zhǎng)的百分率是多少?
考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用
評(píng)析：首先用3月份收入款及增長(zhǎng)率（x）表示5月份的收入款根據(jù)5月份的實(shí)際額列方程25(1+x)2=36.
答案：20%
注：（1）解一元二次方程要求出兩解,根據(jù)實(shí)際再取舍.
（2）結(jié)果要化成百分?jǐn)?shù)的形式.
2．（成都市）某科技公司研制成功一種新產(chǎn)品,決定向銀行貸款200萬元資金用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品,簽訂的合同上約定兩年到期時(shí)一次性還本付息,利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場(chǎng)后,由于產(chǎn)銷對(duì)路,使公司在兩年到期時(shí)除還清貸款的本金和利息外,還盈余72萬元,若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同,試求這個(gè)百分?jǐn)?shù).
考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用.
評(píng)析：兩年后的產(chǎn)值是列方程的難點(diǎn),也是此題的難點(diǎn),即兩年后的產(chǎn)值為本息和加盈利[200（1+8%）+72],由題意不難列出方程200(1+x)2=72+200(1+8%),(x為所求百分?jǐn)?shù)).
設(shè)這個(gè)百分?jǐn)?shù)為x.
依題意,列出方程為 200(1+x)2=72+200(1+8%).
化簡(jiǎn),得200(1+x)2=288,
即(1+x)2=1.44.
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2（不合題意,舍去）.
答：該公司資金增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)為20%.
3．（昆明）某廠工業(yè)廢氣年排放量為450萬立方米,為改善昆明市的大氣環(huán)境質(zhì)量,決定分二期投入治理,使廢氣的年排放量減少到288萬立方米,如果每期治理中廢氣減少的百分率相同.
?。?）求每期減少的百分率是多少?
?。?）預(yù)計(jì)第一期治理中每減少1萬立方米廢氣需投入3萬元,第二期治理中每減少1萬立方米廢氣需投入4.5萬元,問兩期治理完成后共需投入多少萬元?
（1）設(shè)每期減少的百分率為x. 1分
據(jù)題意,得：450(1-x)2=288 3
(1-x)2=0.64
解得：x=1±0.8
∴ x1=0.2, x2=1.8(不合題意,舍去) 5分
∴每期減少的百分率為20%.
?。?）∵ 450·(1-20%)=360
∴第一期減少的廢氣450-360=90（萬立方米） 6分
又∵第二期減少的廢氣360-288=72（萬立方米） 7分
則共需投入3×90+4.5×72=594（萬元） 8分
答：（1）每期減少的百分率為20%,（2）兩期治理完成后共需投入594萬元 9分
4．（遼寧?。┝蟹匠探鈶?yīng)用題：
某顧客第一次在商店買若干件小商品花去5元,第二次再去買該小商品時(shí),發(fā)現(xiàn)每一打（12件）降價(jià)0.8元,他比第一次多買了10件,這樣,第二次共花去2元,且第二次買的小商品恰好成打,問他第一次買的小商品是多少件?
考點(diǎn)：列分式方程解應(yīng)用題
評(píng)析：思路：設(shè)第一次買的小商品為x件,則第二次為（x+10）件分別表示出每件的價(jià)格,兩次的價(jià)格差即為每件小商品所降的價(jià)格,列出分式方程,可解決此題.
說明：求出未知數(shù)的值,必須檢驗(yàn),不但使方程成立,還必須符合實(shí)際.
設(shè)他第一次買的小商品為x件.
根據(jù)題意,得
去分母,整理得x2-35x-750=0.
解得x1=50,x2=-15.
經(jīng)檢驗(yàn)x1=50,x2=-15都是原方程的根.
但x=-15不合題意,舍去,所以只取x=50.
答:他第一次買小商品50件.
5．（北京市海淀區(qū)）列方程或方程組解應(yīng)用題：
為了響應(yīng)節(jié)水號(hào)召,小紅家要使200m3的水比過去多用5個(gè)月,計(jì)劃每月比過去少用水2m3,問小紅家計(jì)劃每月用多少水?
考點(diǎn)：列方程（組）解應(yīng)用題.
評(píng)析：列方程（或組）解應(yīng)用題的關(guān)系是通過審題,找到等量關(guān)系,設(shè)未知數(shù)列方程（組）就容易了,(其中x為原來每天的用水量)x=10m3,所以計(jì)劃每月的用水量為8m3.
6．（山西省）列方程解應(yīng)用題：
A、B兩地相距80千米,一輛公共汽車從A地出發(fā),開往B地,2小時(shí)后,又從A地同方向開出一輛小汽車,小汽車的速度是公共汽車的3倍,結(jié)果小汽車比公共汽車早40分鐘到達(dá)B地,求兩種車的速度.
設(shè)公共汽車的速度為x千米/時(shí),則小汽車速度為3x千米/時(shí)
依題意,得.
解之,得x=20
經(jīng)檢驗(yàn):x=20是所列方程的解, ∴3x=60
答：公共汽車速度為20千米/時(shí),小汽車速度為60千米/時(shí).