第一步先看 積分區(qū)域

如果積分區(qū)域有對稱性,那就取它們共同對稱的交集

z = √(x² + y²),關(guān)于 x軸 和 y軸 都是對稱的

而x² + y² = 2ax ==> (x - a)² + y² = a²,只是關(guān)于 x軸 對稱

于是可用它們共同的對稱點,就是關(guān)于 x軸 對稱

第二步看被積函數(shù)的 奇偶性

既然積分關(guān)于關(guān)于 x軸 對稱,有以下性質(zhì)：

當f(y)為奇函數(shù),∫(- b→b) f(y) dy = 0

當f(y)為偶函數(shù),∫(- b→b) f(y) dy = 2∫(0→b) f(y) dy

先看xy,把x當常數(shù)時,y就是奇函數(shù)

所以∫∫Σ xy dS = 0

再看yz

∫∫Σ yz dS = ∫∫Σ y√(x² + y²) dS,y√(x² + y²)關(guān)于y也是奇函數(shù)

于是 = 0

后看z

∫∫Σ z dS = ∫∫Σ √(x² + y²) dS,√(x² + y²)關(guān)于y是偶函數(shù)

于是 = 2∫∫Σ₁ √(x² + y²) dS,其中Σ₁是Σ在第一掛限的部分

= 2∫∫D₁ √(x² + y²) * √[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] dxdy,D₁是D在第一掛限的部分,即Σ₁在xy面的投影

= 2∫∫D₁ √(x² + y²) * √2 dxdy、D₁：x² + y² ≤ 2ax、x ≥ 0

= 2√2∫(0→π/2) dθ ∫(0→2acosθ) r² dr

= 2√2∫(0→π/2) r³/3 ]：(0→2acosθ) dθ

= (2/3)√2∫(0→π/2) 8a³cos³θ dθ

= (16/3)√2a³ * 2/(3 * 1)

= (32/9)√2a³ = 原式

利用對稱性往往能有效解決如∫(0→π/2) sinⁿx dx 或 ∫(0→π/2) cosⁿx dx等麻煩的算式

輪換對稱性的要求更高

首先「積分區(qū)域」要是關(guān)于「三個」坐標面都是「對稱」的

然后是「被積函數(shù)」,任意對調(diào)其中兩個函數(shù)的位置,也對原式?jīng)]有任何改變

也包括了偶函數(shù)的性質(zhì)

即f(x,y,z) = f(y,z,x) = f(z,x,y)

例如通常的 積分區(qū)域 球體 x² + y² + z² = R²,關(guān)于三個坐標面都是對稱的 或者 正方體 八面體 等

被積函數(shù)x² + y² + z²、x²y²z²

那么∫∫Σ f(x,y,z) dS = 8∫∫Σ₁ f(x,y,z) dS,在第一掛限的積分