1.設(shè)細棒質(zhì)量為m,則其線密度為m/L,細棒對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為(積分上限L下限0)：
I=∫(m/L)r²dr=mL²/3 ,
棒開始轉(zhuǎn)動時所受重力矩為(積分上限L下限0)：
M=∫(m/L)grdr=mgL/2 ,根據(jù)剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律,M=Iα,故棒開始轉(zhuǎn)動時的角加速度為：
α=M/I=1.5g/L.
2.設(shè)棒在任意時刻與水平方向的夾角為θ,則所受合外力矩即重力矩為(積分上限L下限0)：
M=∫(m/L)gr*cosθdr=mgL*cosθ/2 ,
根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理,合外力矩對棒做的功等于剛體動能的增量,即(積分上限π/2下限0)：
M=∫Mdθ=Iω²/2-0=∫(mgL*cosθ/2) dθ=mgL/2 ,
亦等于細棒重力勢能的變化.
附：這樣說也許更清楚——
合外力矩亦即重力矩對棒做的功等于剛體動能的增量,而剛體動能的增量等于重力勢能的減小量(變化量),即機械能守恒.也可以說重力矩做功了,做的功等于細棒重力勢能的減小.