f(x)在[a,b]上連續(xù),則在[x1,xn]上連續(xù),則在[x1,xn]上必能取得最大和最小值,M和m
設(shè)f(c)=M,f(d)=m 其中 c,d在x1,和x2之間(有可能在端點(diǎn))
如果M=m,說明f(x)是常數(shù)函數(shù),結(jié)論是顯然的.
如果M≠m,則c≠d.
這里有）[f(x1)+f(x2)+……f(xn)]/n <= (M+M+...M)/n=M=f(c) (右邊的每一個放大成M)
同樣 [f(x1)+f(x2)+……f(xn)]/n >= m ,由于m,M不等,所以兩個不等式等號不會同時成立
如果兩個等號都不成立,由介值定理,存在p在c,d之間(這里可以不包含端點(diǎn)),c,d又在[x1,xn]之間.
x1如果有一個等號成立（這里不妨設(shè)第一個等號成立）
那么必有 f(x2)=M,而x1故命題成立