令g(n)=f(n)/(n-1)!,h(n)=g(n)/n=f(n)/n!
那么g(n)=g(n-2)+h(n-3)+h(n-4)
對(duì)n求和可得
g(n)=1+h(1)+h(2)+...+h(n-3)
因此
g(n+1)-g(n)=h(n-2)
或者
(n+1)h(n+1)-nh(n)=h(n-2)
再考察冪級(jí)數(shù)
y(x)=sum h(n)x^n,
其中求和從n=1開始,當(dāng)然也可以補(bǔ)一個(gè)h(0)=0
由上述遞推關(guān)系可得
(1-x)y'(x)=x^2(y+1)
解出y(x)=exp(-x(x+2)/2)/(1-x)-1
所以f(n)就是y(x)在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)
至于有沒有更初等的通項(xiàng),那我也不清楚