在直角三角形ABC中,角C=90°,角A=30°,角C的平分線與角B的外角平分線交于E點,連接AE,則角AEB為多少度?
答案在這：過E作BC,AB,AC的垂線EF,EG,EH,垂足分別為F,G,H,
∵CE,BE分別為角平分線,∴ EF=EG=EH,AE平分 ∠BAH,
∴∠BAE=75°,
∴ ∠AEB=180°-60°-75°=45°
1.已知在三角形ABC中,BE,CF分別是角平分線,D是EF中點,若D到三角形三邊BC,AB,AC的距離分別為x,y,z,求證：x=y+z
證明;過E點分別作AB,BC上的高交AB,BC于M,N點.
過F點分別作AC,BC上的高交于P,Q點.
根據(jù)角平分線上的點到角的2邊距離相等可以知道FQ=FP,EM=EN.
過D點做BC上的高交BC于O點.
過D點作AB上的高交AB于H點,過D點作AB上的高交AC于J點.
則X=DO,Y=HY,Z=DJ.
因為D 是中點,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME,ME=2HD
同理可證FP＝2DJ.
又因為FQ=FP,EM=EN.
FQ＝2DJ,EN＝2HD.
又因為角FQC,DOC,ENC都是90度,所以四邊形FQNE是直角梯形,而D是中點,所以2DO＝FQ＋EN
又因為
FQ＝2DJ,EN＝2HD.所以DO＝HD＋JD.
因為X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z.
2.在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=108°,請問結(jié)論BM=CN是否成立?若成立,請給予證明；若不成立,請說明理由.
當∠BON=108°時.BM=CN還成立
證明；如圖5連結(jié)BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ ΔCDE
∴BD=CE ,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°,∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°,∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°,∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN
3.三角形ABC中,AB=AC,角A=58°,AB的垂直平分線交AC與N,則角NBC=( )
3°
因為AB=AC,∠A=58°,所以∠B=61°,∠C=61°.
因為AB的垂直平分線交AC于N,設交AB于點D,一個角相等,兩個邊相等.所以,Rt△ADN全等于Rt△BDN
所以 ∠NBD=58°,所以∠NBC=61°-58°=3°
4.在正方形ABCD中,P,Q分別為BC,CD邊上的點.且角PAQ＝45°,求證：PQ＝PB＋DQ
延長CB到M,使BM=DQ,連接MA
∵MB=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠
∴三角形AMB≌三角形AQD
∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ
∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ
∵∠MAP=∠PAQ
AM=AQ AP為公共邊
∴三角形AMP≌三角形AQP
∴MP=PQ
∴MB+PB=PQ
∴PQ=PB+DQ
5.正方形ABCD中,點M,N分別在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于點P,求證DP⊥NP
∵直角△BMP∽△CBP
∴PB/PC=MB/BC
∵MB=BN
正方形BC=DC
∴PB/PC=BN/CD
∵∠PBC=∠PCD
∴△PBN∽△PCD
∴∠BPN=∠CPD
∵BP⊥MC
∴∠BPN+∠NPC=90°
∴∠CPD+∠NPC=90°
∴DP⊥NP