質(zhì)數(shù)是無窮的.
這個命題的證法有很多,其中,較容易理解的是古希臘歐幾里得的證法.此外,較著名的還有歐拉的證法等.
歐幾里得的證法如下：
（反證法）
假設(shè),質(zhì)數(shù)是有限的,存在最大的質(zhì)數(shù)P
那么,構(gòu)造這樣一個數(shù)A
A=2×3×5×7×……×P+1
即A是從2到P所有質(zhì)數(shù)的乘積再加上1.
這樣,利用任何一個質(zhì)數(shù)去除A,都會余1,即任何質(zhì)數(shù)都無法整除A.根據(jù)指數(shù)的定義,A是一個質(zhì)數(shù).
顯然,A比P大的多
這與假設(shè)“P是最大的質(zhì)數(shù)”矛盾.
故假設(shè)不成立,質(zhì)數(shù)是無窮的