如右圖,在ABC中,三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c . 以A為原點,AC所在的直線為x軸建立直角坐標系,于是C點坐標是(b,0),由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA,csinA) . ∴CB = (ccosA－b,csinA).
現(xiàn)將CB平移到起點為原點A,則AD = CB .
而 |AD| = |CB| = a ,∠DAC = π－∠BCA = π－C ,
根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是 (acos(π－C),asin(π－C))
即 D點坐標是(－acosC,asinC),
∴ AD = (－acosC,asinC) 而 AD = CB
∴ (－acosC,asinC) = (ccosA－b,csinA)
∴ asinC = csinA …………①
－acosC = ccosA－b ……②
由①得 asinA = csinC ,同理可證 asinA = bsinB ,
∴ asinA = bsinB = csinC .
由②得 acosC = b－ccosA ,平方得：
a2cos2C = b2－2bccosA + c2cos2A ,
即 a2－a2sin2C = b2－2bccosA + c2－c2sin2A .
而由①可得 a2sin2C = c2sin2A
∴ a2 = b2 + c2－2bccosA .
同理可證 b2 = a2 + c2－2accosB ,
c2 = a2 + b2－2abcosC .
到此正弦定理和余弦定理證明完畢.
參考資料：你可以自己到http://ly10.lyedu.com.cn/keshiwangye/%CA%FD%D1%A7%D0%C2%CD%F8%D2%B3/yjlw/yj1.doc去看