百雞問題
《張邱建算經(jīng)》中,是原書卷下第38題,也是全書的最后一題：「今有雞翁一,值錢伍；雞母一,值錢三；雞鶵三,值錢一.凡百錢買雞百只,問雞翁、母、鶵各幾何?答曰：雞翁四,值錢二十；雞母十八,值錢五十四；雞鶵七十八,值錢二十六.又答：雞翁八,值錢四十；雞母十一,值錢三十三,雞鶵八十一,值錢二十七.又答：雞翁十二,值錢六十；雞母四、值錢十二；雞鶵八十四,值錢二十八.」該問題導(dǎo)致三元不定方程組,其重要之處在于開創(chuàng)「一問多答」的先例,這是過去中國古算書中所沒有的.
秦王暗點(diǎn)兵問題和韓信亂點(diǎn)兵問題,都是后人對物不知其數(shù)問題的一種故事化.
物不知其數(shù)問題出自一千六百年前我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》.原題為："今有物不知其數(shù),三三數(shù)之二,五五數(shù)之三,七七數(shù)之二,問物幾何?"
這道題的意思是：有一批物品,不知道有幾件.如果三件三件地數(shù),就會剩下兩件；如果五件五件地數(shù),就會剩下三件；如果七件七件地數(shù),也會剩下兩件.問：這批物品共有多少件?
變成一個純粹的數(shù)學(xué)問題就是：有一個數(shù),用3除余2,用5除余3,用7除余2.求這個數(shù).
這個問題很簡單：用3除余2,用7除也余2,所以用3與7的最小公倍數(shù)21除也余2,而用21除余2的數(shù)我們首先就會想到23；23恰好被5除余3,所以23就是本題的一個答案.
這個問題之所以簡單,是由于有被3除和被7除余數(shù)相同這個特殊性.如果沒有這個特殊性,問題就不那么簡單了,也更有趣得多.
我們換一個例子；韓信點(diǎn)一隊士兵的人數(shù),三人一組余兩人,五人一組余三人,七人一組余四人.問：這隊士兵至少有多少人?
這個題目是要求出一個正數(shù),使之用3除余2,用5除余3,用7除余4,而且希望所求出的數(shù)盡可能地小.
如果一位同學(xué)從來沒有接觸過這類問題,也能利用試驗加分析的辦法一步一步地增加條件推出答案.
例如我們從用3除余2這個條件開始.滿足這個條件的數(shù)是3n+2,其中n是非負(fù)整數(shù).
要使3n+2還能滿足用5除余3的條件,可以把n分別用1,2,3,…代入來試.當(dāng)n=1時,3n+2=5,5除以5不用余3,不合題意；當(dāng)n=2時,3n+2=8,8除以5正好余3,可見8這個數(shù)同時滿足用3除余2和用5除余3這兩個條件.
最后一個條件是用7除余4.8不滿足這個條件.我們要在8的基礎(chǔ)上得到一個數(shù),使之同時滿足三個條件.
為此,我們想到,可以使新數(shù)等于8與3和5的一個倍數(shù)的和.因為8加上3與5的任何整數(shù)倍所得之和除以3仍然余2,除以5仍然余3.于是我們讓新數(shù)為8+ 15m,分別把m=1,2,…代進(jìn)去試驗.當(dāng)試到m=3時,得到8+15m=53,53除以7恰好余4,因而53合乎題目要求.
我國古代學(xué)者早就研究過這個問題.例如我國明朝數(shù)學(xué)家程大位在他著的《算法統(tǒng)宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：
三人同行七十稀,
五樹梅花甘一枝,
七子團(tuán)圓正半月,
除百零五便得知.
"正半月"暗指15."除百零五"的原意是,當(dāng)所得的數(shù)比105大時,就105、105地往下減,使之小于105；這相當(dāng)于用105去除,求出余數(shù).
這四句口訣暗示的意思是：當(dāng)除數(shù)分別是3、5、7時,用70乘以用3除的余數(shù),用21乘以用5除的余數(shù),用15乘以用7除的余數(shù),然后把這三個乘積相加.加得的結(jié)果如果比105大,就除以105,所得的余數(shù)就是滿足題目要求的最小正整數(shù)解.
按這四句口訣暗示的方法計算韓信點(diǎn)的這隊士兵的人數(shù)可得：
70×2+21×3+15×4=263,
263=2×105+53,
所以,這隊士兵至少有53人.
在這種方法里,我們看到：70、21、15這三個數(shù)很重要,稍加研究,可以發(fā)現(xiàn)它們的特點(diǎn)是：
70是5與7的倍數(shù),而用3除余1；
21是3與7的倍數(shù),而用5除余1；
15是3與5的倍數(shù),而用7除余1.
因而
70×2是5與7的倍數(shù),用3除余2；
21×3是3與7的倍數(shù),用5除余3；
15×4是3與5的倍數(shù),用7除余4.
如果一個數(shù)除以a余數(shù)為b,那么給這個數(shù)加上a的一個倍數(shù)以后再除以a,余數(shù)仍然是b.所以,把70×2、21×3與15×4都加起來所得的結(jié)果能同時滿足"用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求.一般地,
70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)
能同時滿足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k"的要求.除以105取余數(shù),是為了求合乎題意的最小正整數(shù)解.
我們已經(jīng)知道了70、21、15這三個數(shù)的性質(zhì)和用處,那么,是怎么把它們找到的呢?要是換了一個題目,三個除數(shù)不再是3、5、7,應(yīng)該怎樣去求出類似的有用的數(shù)呢?
為了求出是5與7的倍數(shù)而用3除余1的數(shù),我們看看5與7的最小公倍數(shù)是否合乎要求.5與7的最小公倍數(shù)是5×7=35,35除以3余2,35的2倍除以3余2,35的2倍除以3就能余1了,于是我們得到了"三人同行七十稀".
為了求出是3與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù),我們看看3與7的最小公倍數(shù)是否合乎要求.3與7的最小公倍數(shù)是3×7=21,21除以5恰好余1,于是我們得到了"五樹梅花甘一枝".
為了求出是3與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù),我們看看3與5的最小公倍數(shù)是否合乎要求.3與5的最小公倍數(shù)是3×5=15,15除以7恰好余1,因而我們得到了"七子團(tuán)圓正半月".
3、5、7的最小公倍數(shù)是105,所以"除百零五便得知".
例如：試求一數(shù),使之用4除余3,用5除余2,用7除余5.
我們先求是5與7的倍數(shù)而用4除余1的數(shù)；5與7的最小公倍數(shù)是5×7=35,35除以4余3,3×3除以4余1,因而35×3=105除以4余1,105是5與7的倍數(shù)而用4除余1的數(shù).
我們再求4與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù)；4與7的最小公倍數(shù)是4×7=28,28除以5余3,3×7除以5余1,因而28×7=196除余5余1,所以196是4與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù).
最后求的是4與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)：4與5的最小公倍數(shù)是4×5=20,20除以7余6,6×6除以7余1,因而20×6=120除以7余1,所以120是4與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù).
利用105、196、120這三個數(shù)可以求出符合題目要求的
105×3+196×2+120×5=1307.
由于4、5、7的最小公倍數(shù)是4×5×7=140,1307大于140,所以1307不是合乎題目要求的最小的解.用1037除以140得到的余數(shù)是47,47是合乎題目的最小的正整數(shù)解.
一般地,
105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)
是用4除余m,用5除余n,用7除余k的數(shù)(105m+196n+120k)除以140所得的余數(shù)是滿足上面三個條件的最小的正數(shù).
上面我們是為了寫出105m+196n+120k這個一般表達(dá)式才求出了105這個特征數(shù).如果只是為了解答我們這個具體的例題,由于5×7=35既是5與7的倍數(shù)除以4又余3,就不必求出105再乘以3了.
35+196×2+120×5=1027
就是符合題意的數(shù).
1027=7×140+47,
由此也可以得出符合題意的最小正整數(shù)解47.
《算法統(tǒng)宗》中把在以3、5、7為除數(shù)"物不知其數(shù)"問題中起重要作用的70、21、15這幾個特征數(shù)用幾句口訣表達(dá)出來了,我們也可以把在以4、5、7為除數(shù)的問題中起重要作用的105、196、120這幾個特征數(shù)編為口訣.留給讀者自己去編吧.
凡是三個除數(shù)兩兩互質(zhì)的情況,都可以用上面的方法求解.
上面的方法所依據(jù)的理論,在中國稱之為孫子定理,國外的書籍稱之為中國剩余定理