球的方程是 x²+y²+z²=R²
球體內(nèi)接圓柱在第一象限內(nèi)是一個(gè)半徑為 x,高度為 z 的四分之一圓柱,其體積為 ¼ πx²z,球體內(nèi)接圓柱的體積為其八倍,即 V=2πx²z
令 F(x,y,z) = 2πx²z - λ(x²+y²+z²-R²),
F'x = 4πxz - 2λx =0
F'y = -2λy =0
F'z = 2πx² - 2λz =0
得 x=√2λ / 2π,y=0,z=λ / 2π
代入 x²+y²+z²=R²,得 λ= 2πR/√3
x=√(2/3) R,y=0,z=√3 R / 3
因此點(diǎn)（√(2/3) R,0,√3 R / 3）為唯一駐點(diǎn),由題意可知此圓柱體有最大體積
V max = 2πx²z = 2π (2/3) R² √3 R / 3 = 4√3 πR³ / 9
此體積最大的圓柱體的高是 2z = 2√3 R / 3
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橢圓方程是 x²/a² + y²/b² = 1,(x,y) 是其內(nèi)接矩形在第一象限內(nèi)的一個(gè)頂點(diǎn),其長寬分別為 2x,2y,其面積 S=4xy
令 F(x,y) = 4xy - λ(x²/a² + y²/b² - 1),
F'x = 4y - 2λx/a² = 0
F'y = 4x - 2λy/b² = 0
得 λ=2ab,bx=ay
代入 x²/a² + y²/b² = 1,得x=a/√2,y=b/√2
因此點(diǎn)(a/√2,b/√2)為唯一駐點(diǎn),由題意可知此矩形有最大面積 S max=4xy=4a/√2 * b/√2=2ab
此面積最大的矩形各邊長度為 √2 a 和 √2 b